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基于静力子结构的多点输入拟静力位移求解
基于静力子结构的多点输入拟静力位移求解
白建方*1) 楼梦麟2)
1)石家庄铁道学院土木工程分院,石家庄050043
2)同济大学土木工程防灾国家重点实验室,上海200092
 [收稿日期]: 2008-09-16
摘要

复杂场地的土层地震反应分析对结构的地震反应计算及抗震安全性评价有重要意义。采用直接有限元法对土层进行三维建模,可使系统的计算力学模型更加符合实际情况。但由此带来的计算量之大,使得传统的计算方法难以胜任。在此背景下,本文利用静力子结构方法推导了在多点输入模式下进行土层地震反应分析时拟静力位移的求解步骤,并通过均匀土层算例验证了行波输入下利用约束子结构模态综合法进行复杂场地地震反应分析的可行性。


引言

复杂场地的地震反应分析对上部结构的地震反应计算和抗震安全性评价具有重要意义,对于实际地形来说,其几何形态通常很不规则,介质也是非均匀的,而且在强震作用下土体通常已进入非线性,此时采用解析方法将很难得到问题的解。因而,对于实际复杂地形其地震反应分析通常借助于数值解,其中应用最多的就是有限单元法。在用有限元建立实际场地三维地震反应分析模型时,由于研究对象的半无限域特性,即使采用了人工边界,依然会使得计算量偏大,尤其是进行非线性计算时更是如此,对计算机内存的要求是目前单机环境无法满足的(白建方等,2007)。因此,将动力子结构方法引入土层地震反应分析的研究领域具有实际意义。考虑到约束子结构实现简单、易满足频率截断准则等优势,利用约束子结构进行复杂场地的等效线性化反应分析不失为一种现实可行的选择(楼梦麟等,2002)。在用子结构方法求解土层地震反应时,由于不需要在内存中组装土层有限元模型的整体刚度矩阵,因此,在同样计算环境下可大幅度提高解题规模,但是带来的一个问题是:在多点输入下求解拟静力位移的公式需要重新推导。在多点输入作用下,结构的运动方程不能简单套用一致输入下的运动方程,计算公式必须重新推导。

多点输入下推导运动方程的一般做法是,把结构地震反应的总位移分为拟静态位移和动态位移。拟静态位移用静力法求解,将其代回原方程即可求出动态位移,从而求出总位移(胡聿贤,1988)。

胡聿贤(1988)在文献中介绍,拟静力位移由下式计算:

{usqs(t)}=-[Kss]-1[Ksb]{ub(t)}=[Φc]{ug(t)}
(1)

式中,[Φc]为整体结构的约束模态矩阵,它表示结构基础面上约束自由度单位位移引起的结构内部自由度上的位移;[Kss]为土层区域自由度的整体刚度矩阵;[Ksb]为土层与基岩接触面相耦合的刚度矩阵。

在给出行波速度和地震动输入方向以及一致输入下地震波之后,可很容易地求出多点输入下的地震波列阵{ugt)}。因此,拟静力位移的求解关键是要获取约束模态矩阵[Φc]:

c]=-[Kss]-1[Ksb]
(2)

由于大规模矩阵的求逆运算会花费大量的时间(徐稼轩等,1993),因此将上式改变一下形式,得到:

[Kss]•[Φc]=-[Ksb]
(3)

对于式(3),传统的做法需要在内存中形成土层整体刚度矩阵[Kss],然后再通过三角分解的方法来计算约束模态矩阵[Φc]。但这样一来与引入动力子结构方法的初衷就相违背了,因为动力子结构方法能够扩大解题规模的原因,就在于不需要在内存中从形式上形成整体刚度矩阵。由于式(3)是一个静力方程,因此本文考虑了通过静力子结构的方法来求解该方程。

1 理论推导

根据线性代数理论,静力子结构法是一种精确算法,方法的基本原理是把各子结构的边界结点自由度选为主自由度,然后将各子结构的刚度矩阵凝聚到本子结构的边界上,形成子结构凝聚刚度矩阵。所对应的是将子结构收到的“荷载”也凝聚到边界自由度上。在完成各子结构的凝聚之后,可视它们为超级单元,按有限单元法中组装总刚度一样的过程,集合所有子结构的凝聚刚度矩阵及凝聚荷载组成土层的总凝聚刚度矩阵及总凝聚荷载。由此可知,凝聚后方程的自由度为各子结构界面自由度之和,与土层单元网格划分有关联,但与土层总自由度相比,得到很大程度的降低(楼梦麟,1997)。

下面就给出利用静力子结构方法,求解多点输入下拟静力位移的具体步骤。

(1)划分子结构,完成子结构分析

假设将原结构划分为n个子结构,有地震动输入的自由度为nb个,对所有自由度按先内部自由度,再对接自由度,最后约束自由度的顺序编号,并形成子结构刚度矩阵:

(4)
[K(i)]=



KII(i) KIJ(i) KIB(i)
KJI(i) KJJ(i) KJB(i)
KBI(i) KBJ(i) KBB(i)





式中,角标i代表第i个子结构;I代表内部自由度;J代表对接自由度;B代表有地震动输入的约束自由度。

(2)求各子结构等效刚度矩阵[K ̄JJ(i)]:

[K ̄JJ(i)]=[KIJ(i)]-[KIJ(i)]T•[KII(i)]-1•[KIJ(i)]
(5)

(3)按对号入座方式形成修改后结构的总等效刚度矩阵:

(6)
[K ̄JJ]= n

i=1
[αJj,i]T•[K ̄JJ(i)]•[αJj,i]

式中,[αJj,i]为布尔矩阵,其作用是将[K ̄JJ(i)]的列数扩大,使之等于对接界面自由度,并将其拼装到[K ̄JJ]中相应的位置上;[αJj,i]T则对行数起相同的作用。

(4)对对接界面等效刚度矩阵[[K ̄JJ]进行三角分解:

[K ̄JJ]=[L][D][L]T
(7)

(5)对m=1,2,…,nb做如下操作:

①选取需计算的静力方程的右端力向量:

p(i)=-[K(i)I+J,B](m)
(8)

式中,[K(i)I+J,B](m)为相应于第m个约束自由度的第i个子结构刚度矩阵中列元素。

②求各子结构等效荷载向量:

{p-J(i)}={pJ(i)}-[KIJ(i)]T•[KII(i)]-1•[pI(i)]
(9)

式中,{pJ(i)}=[KJB(i)](m);{pI(i)}=[KIB(i)](m)

③形成总的等效荷载向量:

(10)
{p-J}= n

i=1
[αJj,i]T•{p-J(i)}

同样,[αJj,i]也是布尔矩阵,其作用是将[p─J(i)]的列数扩大,使之等于对接界面自由度,并将其拼装到{p─J}中相应的位置上。

④求对应于对接界面约束模态,也就是约束模态矩阵中对应于第m个约束自由度的列向量对应于对接界面部分的元素{φJ}(m)

[L][D][L]T{φJ}(m)={p-J}
(11)

⑤根据下式求出对应于第i个子结构内部自由度约束模态:

[KII(i)]• {φI(i)}(m)= {pI(i)}- [KIJ(i)]T• {φJ(i)}(m)
(12)

式中,{φJ(i)}(m)为{φJ}(m)对应于第i个子结构对接界面处的约束模态。

⑥形成第i个子结构对应于第m个约束支座的约束模态:

(13)
{φ(i)}(m)}= ì
í
î
{φI(i)}(m)
{φJ(i)}(m)
ü
ý
þ

(6)形成第i个子结构总的约束模态矩阵:

c](i)=[{φ1}(i)φ2}(i)φm}(i)]
(14)

在求出约束模态矩阵之后,进而按式(1)求出拟静力位移。

2 算例分析

选取一深30m的均匀土层模型,沿水平向划分成4个约束子结构,如图1所示。场地土的剪切波速为240m/s;密度为1800kg/m3;剪切模量为1.0368E8Pa;泊松比为0.35;设初始阻尼比为0.1。

图 1算例土层有限元模型的划分 Fig. 1Partition of finite element model for soil layer
图 2所输入地震波加速度时程 Fig. 2Inputted acceleration time history
图 3不同输入方式下地表不同位置处加速度峰值对比 Fig. 3Comparison of absolute peak acceleration of different sites under diferent wave excitation

在基岩输入下的地震波加速度时程如图2所示,行波方向自左至右,为突显行波效应,分别取一致输入和视波速为200m/s两种工况。由于实际地震波斜入射时,不仅会引起质点沿地震波传输方向上自由度的振动,而且还会引起竖向振动,因此在输入地震波时,沿水平和竖直两个方向同时输入相同地震波,求取位于四个子结构地表中心处的动力反应,并与仅考虑水平方向的单分量振动结果进行对比,所得计算结果如图3一图6所示。

图 4沿水平向输入地震波时地表A处三个方向加速度时程对比 Fig. 4Comparison of the acceleration time history from three directions of Site A under hofizonml wave excitation
图 5沿水平和竖向同时输入地震波时地表A处三个方向加速度时程对比 Fig. 5Comparison of the acceleration time history from three direction of Site A under horizontM and vertical wave excitation
图 6沿水平和竖向同时输入地震波时地表不同位置加速度时程对比 Fig. 6Comparison of acceleration time history of diferent sites under horizontal and vertical wave

图3给出了在采用不同地震波输入方式下,所得地表不同位置处加速度峰值对比,横坐标中的数字代表不同子结构地表中心处位置。从结果中可以看出,对于本例中的均匀土层来说,采用行波输入假定时,所得结果相对于一致输入时要小。同时可以发现,在行波输入时若不考虑由地震波斜入射所引起的竖向振动的话,所求得的土层地表反应结果相对于两个方向都有振动的实际情况偏小。换句话说,在进行行波输入下土层地震反应分析时,如果忽略了地震波斜入射所产生的多维振动问题,有可能使得设计偏于不安全。

图4和图5分别给出的是不同输入方式下,地表A处三个方向的加速度时程对比结果。从图中可以看出,当仅考虑沿水平方向单分量振动时,所得地表结果中沿地震波传输方向上的结果要明显大于另外两个方向上的计算结果;而考虑竖向振动后,求得的地表位置处三个方向上都有明显的动力反应。也就是说,如果仅考虑单分量振动的话将低估地表的竖向振动。

图6为沿水平和竖向同时输入地震波时,地表不同位置加速度的时程对比,所给出的时程分别为沿地震波传输方向不同子结构地表中心处的结果。可以看出,当考虑了地震波在基岩面行波输入时所计算出的地表不同位置的动力反应,也存在明显的行波效应。根据假定的地震波传输速度的不同,沿其传输方向上的动力结果将会产生大小不同的相位延迟现象。

3 结语

本文结合静力子结构方法,推导了在多点输入模式下拟静力位移的求解步骤。通过算例验证了该方法的可行性,并定性的分析了不同地震波输入模式对地表动力反应结果的影响。从而为将约束子结构模态综合法引入到复杂场地土层地震反应分析领域奠定了基础。

参考文献
1.白建方,楼梦麟,叶爱君,2007.苏通大桥南引桥场地土层地震反应的数值分析.震灾防御技术,2(2):176—186.
2.胡聿贤,1988.地震工程学.北京:地震出版社.
3.楼梦麟,范立础,2002.考虑局部场地效应的大跨度桥梁输入地震动的计算方法.见:大型复杂结构的关键科学问题及设计理论研究论文集.哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社.
4.楼梦麟,1997.结构动力分析的子结构方法.上海:同济大学出版社.
5.徐稼轩,郑铁生,1993.结构动力分析的数值方法.西安:西安交通大学出版社.


Pseudo-Static Displacements Calculation Base on Static Substructure Method under Multiple Support Excitation
Bai Jianfang*1) and Lou Menglin2)
1) School of Civil Engineering,Shijiazhuang Railway Institute,Shijiazhuang 050043,China
2) State Key Laboratory for Disaster Reduction in Civil Engineering,Tongji University,Shanghai 200092,China
Abstract

The seismic response analysis of irregular topography is important for calculation of the seismic responses of structures and the safety valuation of earthquake resistant buildings.Direct finite element based method is ideal for simulating the actual soil situations.However,the calculating workload largely is so large that traditional algorithm is unsuitable.Therefore,we propose a static substructure analysis method to compute the pseudo-static displacements of the seismic response of soil.The results from examples of homogeneous soil layer indicate that our method is feasible to utilize restrained mode synthesis method for calculating the response of the irregular topography under traveling wave excitations.



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基于静力子结构的多点输入拟静力位移求解
白建方*1) 楼梦麟2)
《震灾防御技术》, DOI:10.11899/zzfy20080413