引言

自概率地震危险性方法(PSHA)得到广泛应用以来,许多工程地震研究人员对概率地震危险性方法的各个环节中存在的不确定性进行了大量的研究。McGuire(1981)是较早对不确定性进行研究的学者之一,他曾对PSHA中模型和参数的不确定性进行了研究,提出了一种估计模型和参数中统计值不确定性的方法。Bender(1986)研究了潜在震源区边界的不确定性对场点地震危险评价结果的影响。丁韫玉等(1991)曾采用敏感性分析方法对潜在震源区范围、震级上限及 等地震活动参数的不确定性对结果的影响进行了研究。朱莉等(1986)也采用敏感性方法研究了震源区划分、震级上限、年平均发生率等参数对地震危险性分析结果的影响及其修正方法。高孟潭(1984)研究了年平均发生率的不确定性,而鄢家全等(1996)对地震活动性参数b值和年平均发生率的不确定性及其对地震危险性结果的影响也进行了较为细致的研究。上述研究的共同认识是,在PSHA中的各个环节都有不确定性发生,其中地震活动性参数的不确定性是较大的,它对场点结果的影响是不容忽视的。

针对这样的结果,本文设想从减少地震危险性分析的环节入手来减少结果的不确定性。为此,本文直接从编目的基础资料——历史文献中的地震记载入手,应用最大似然法,得到了研究区或场点概率性地震危险性方法的结果。由于研究环节的减少,其不确定性也因此减少。

1 最大似然法

假定地震发生过程为泊松过程(金学申,1994),则在t时间段内最大地震小于给定震级x的概率为:

(1)
G(x/t)=Pr(Xx)=exp é
ê
ë
v0t æ
ç
è
A2A(x)
A2A10
ö
÷
ø
ù
ú
û

式中,A10=exp(-βm0),m0为目录的起始震级;A2=exp(-βmmax),mmax为最大震级;A(x)=exp(-βx);v0为年平均发生率。

假定由历史地震目录,从T=(t1t2tn0)个时间间隔中选取其中的最大地震X0=(x01x0n),那么,地震活动性参数θ=(βλ)的最大似然函数为:

(2)
L0(θ/X0)= n0

i=1
g(x0i,ti/θ)

g(xt/θ)是密度函数,它的形式为:
(3)
g(xt/θ)=v0t A2A(x)
A10A2
+ln v0βt
A10A2
βx

假定现今中小地震目录可分为若干个震级下限与持续时间不同的子目录,每个子目录的震级下限为mi (i=1,l ),它们的持续时间为Tii=1,lTi=TieTibTib为第 i 时间段的起始时间,Tie为第 i 时间段的结束时间,如以“年”为单位,本方法并不要求
Tie=T(i+1)b-1,即并不要求上一子目录的结束时间与下一子目录的开始时间之间不能存在时间“空区”,这样灵活的条件使资料的选择具有广泛的适用性。

令数组〈Xi〉为:

Xi〉=(xi1xi2,)i=1,l

它是从第i个子目录中得到的震级数组,根据定义,xijmimi为第i个子目录的震级下限,j=1,nini为第i个子目录的地震数。

每个子目录的最大似然函数可写为两个函数之积:

Li(θ/Xi)=LL

β的似然函数L在假定震级x是一随机变量,并在遵从古登堡-里希特分布的条件下可写为(Rao,1973):

(4)
L=βnlexp(-β nji

j=1
xij)/(A1iA2)ni

其中
A1i = exp(-βmi)  i=1,l

假定单位时间的地震数是一随机变量,L可写为:

L=Ci[exp(-viTi)](viTi)ni
(5)

其中,Ci为常数,i=1,l,于是有:
L(θ/X)= l

i=0
Li(θ/Xi)
∂lnL(θ/X)/∂λ=0  和    ∂lnL(θ/X)/∂β=0  和    ∂lnL(θ/X)/∂β=0  
得到 1/λ=φE1+φC (6a)
   1/β=XφE2-φ2+λ(φE3φC3) (6b)
其中,
φE1=r0B1φE2=r0E(m0mmax)  φE3=r0B2+φE2B1
φ1= l

i=1
TiCl/n   φ2= l

i=1
ri[E(mimmax)+Di/Ci]   φ3= l

i=1
DiTi/n
n= l

i=0
ni   ri=ni/n
B1=(〈tA2-〈tA〉)/(A2A1)
B2=(〈tX0A〉-〈tmmaxA2)/(A2A1)
Ci=1-F(mi)
F(mi)=[A1A(mi)]/(A1A2)  i=1,l
Di=E(mminmi)-E(mminmmax)F(mi)
E(x,y)=[xA(x)-yA(y)/[A(x)-A2]
t〉= n0

i=1
ti /n0   〈tA〉= n0

i=1
tiA(X0i)/n0
tx0A〉= n0

i=1
tiX0iA(X0i)/n0

如果l=1,r0=0(n0=0),这意味着仅考虑现今中小地震目录,而这种目录的精度都认为是一样的。于是,式(6)可变为:

1/λ=T/n
(7a)
1/β=X-(mmaxA2mminA1)/(A2A1)
(7b)

如果mmax→∞,则1/β=Xmmin,这与Aki(1965)和Utsu(1965)得到的公式相同。如果r0=1,ni=0(i=1,l),这表示仅由历史地震目录来确定各种参数,则式(6)可变为:

(8a)
1
λ
tA2-〈tA
A2A1

(8b)
1
β
=X tx0A〉-〈t〉A2mmax
tA〉-〈tA2

需要指出的是,应用上式时,各时间段的最大震级可以从不相同的时间间隔中取得。

从式8(b)不能得到mmax,为了求最大震级,需引入方程:

(9)
E(xmax/T)=mmax E1(TZ2)-E1(TZ1)
βexp(-TZ2)
mminexp(-λT)
其中
Zi=λAi/(A2A1)  i=1,2
T= n0

i=1
ti + t

i=1
Ti
E1(Z)=
z
exp(-ξ)/ξdξ    E(xmax/T)=xmax

xmax是观测到的最大震级。

式(9)与式(8)组成一组迭代方程,先以观测到的最大震级带入式(8),求得mmax,然后再带入式(9)进行计算,经过数次迭代,可求得λβmmax

在迭代过程中,考虑了参数的标准误差,λβ的标准误差可由 θ=(λβ)的协方差矩阵得到:

D(θ)=A-1
A{aij}=∂2lnL/∂θi∂θj(θ=θ)  ij=1,2;θ1=β  θ2=λ

为了分析组成资料的各部分对结果的贡献,通过定义预期的信息量矩阵(Edwards,1972),如:

Lij= 2lnL(θ/X)
θi∂θj
θ=0

则各个目录提供的信息量对结果的贡献比为:

2lnLk(θ/X)
θi2
θ=θ /
/
2lnL(θ/X)
θi2
θ=θ   i=1,2; k=0,1,l
2 历史文献记载与烈度的确定以及其不确定性描述
2.1 历史文献记载与烈度的确定

在进行计算时,本文用烈度值替代地震震级。对于历史文献记载与烈度值的对应关系,李善邦(1981)认为对历史地震的烈度评定难以用普通烈度表为标准来评定烈度,这是因为历史文献所记载的地震情况和描述辞句不是烈度表上的术语,因此,有必要采用记载上惯用的事项及语句,另编一种适用的烈度表作为评定标准。他提出了一个历史地震烈度鉴定表,如表1所示。

表1 历史地震烈度鉴定表 Table 1 Checkup table for historical earthquake intensity determination

对于Ⅵ度及Ⅵ度以下的烈度确定,迄今没有统一的表述,为简单起见本文进行了以下的规定:

文献记载为地震并且无其他描述的,其烈度定为Ⅳ度;

文献记载为地震并且有其他描述的(如地震有声等),其烈度定为Ⅴ度;

文献记载为地震并且有包括建筑物轻微或中等损坏的其他描述的,其烈度定为Ⅵ度。

2.2 烈度误差描述

(1)地震史料分布的时间不均匀性

我国地震史料在时间上大概可分为3个阶段:

第一阶段:元及元以前时期。资料主要出自历朝正史,其中公元1世纪前,一般每100年都在20次以下;自公元2世纪起至元代,一般每年不超过100次。

第二阶段:明-清晚期(1870年)。资料主要取自地方志和正史,每100年的地震事件在600—1500次之间,自15世纪至19世纪的每100年的平均数是2世纪至13世纪每100年平均数的20多倍。

第三阶段:清晚期至民国时期。资料来源多样,除地方志外,也有报纸、私人著作、观测报告等,时间虽然只有80年,记录的地震事件高达2000余次(刘昌森,1993)。表2和表3给出了中国各历史时期和各世纪的地震数量。

表2 中国各历史时期地震数量分布 Table 2 Number of historical earthquake records at different Chinese history periods
表3 中国各世纪地震数量分布 Table 3 Number of historical earthquake records in different centuries of China

可见,各个时期记录的地震事件数呈台阶式递增,随着时间的推移,记载的丰富程度大为增加。我国地震史料时间跨度虽然有4000余年,但记录比较完整的仅500多年,早期地震大量缺失。从现在掌握的各世纪震级分布情况可以看出,我国M7½ 级地震几乎都分布在14世纪以后,在20世纪就发生了16次,其中M8级的地震就发生了5次。而在14世纪前,只有180年的甘肃表氐及512年的山西原平代县间发生过。显然,有些特大地震或因发生在海里或在山区而遗漏,或因记载的语意不详而无法给出确切参数,同时,我们也认为不排除早期的地震震级定得过于保守,以致造成前后两个时期不协调的现象。如1185年6月15日的福建漳州6½ 级地震,正史仅记福州地震,当时的临安府(今杭州)记的是6月14日地震,如果没有找到赵汝愚的奏议,很可能就处理为2次有感地震。又如,两汉时期,特别是在东汉时期地震频繁,常波及到数至十郡国,但是只因郡国名称不确切,无法给出参数,所以,并不是在那些历史时期无特大地震发生。因此,不同时期的“地震”的描述是不能等量齐观的。

(2)地震史料分布的空间不均匀性

我国地震史料大部分集中在东部地区,而近代仪器记录却西部比东部多。以20世纪青海为例,M7级地震的年发生率为0.044;M6级地震的年发生率为0.238;M5级地震的年发生率为0.554。而20世纪60年代前,青海留下的文字记载仅6次,3次为本省地震,另外3次为甘肃M6¾ 级地震对青海的波及,连1947年3月17日达日西北的7.7级地震也未留下只言片语。另外,对历史文献中描述的“地震”、“地大震”,在确定其烈度时,不同的地区是不一样的。如在华北地区、长江中下游、陕西渭河流域、四川盆地、东南沿海等,在清代晚期,由于报纸、杂志和私人著作大量出现,一般可作Ⅲ度—Ⅳ度和Ⅳ度—Ⅴ度来处理,而对西部或地震高发地区(如台湾),所记载的“地大震”可能就是1次大震的记载。

为了处理地震史料分布的时空不均匀性,在应用这些资料时,对确定的烈度误差作了如下的规定:

(1)对14世纪以前的地震记载,其烈度的确定仍按前述的规定确定,但其烈度误差定为1°;而14世纪后的地震,其误差定为0.5°。

(2)对经度105°以西的历史地震,其烈度误差定为1°;而对经度105°以东的地震,其误差定为0.5°。

本文设想通过误差的不同,来描述地震史料分布的不确定性。

3 算例

本文以河北省的某些城市为例,来说明本方法的可行性。

3.1 怀来和河间的历史地震文献记载

在表4和表5中,给出了怀来和河间的历史地震文献记载和由地震记载确定的烈度。

表4 河间地震一览表 Table 4 List of records for Hejian earthquakes
表5 怀来地震一览表 Table 5 List of records for Huailai earthquakes
3.2 计算结果

依据上面给出的怀来和河间的历史文献记载结果,计算了这2个城市的地震危险性。图1和图2给出了1年、50年和100年不同超越概率的危险性结果。

而在图3、图4、图5、图6给出了唐山、承德、宁晋、石家庄等城市依据相同的思路得到的1年、50年和100年不同超越概率的危险性结果,为了便于比较,在表6给出了这6个城市50年超越概率10%的值,并同时给出了地震烈度区划图(河北省地震局,1990)给出的这几个城市的结果。

图 1 怀来1年、50年和100年不同超越概率的危险性结果 Fig. 1Exceeding probability vs. intensity for 1 year, 50 years and 100 years, Huailai area
图 2 河间1年、50年和100年不同超越概率的危险性结果 Fig. 2Exceeding probability vs. intensity for 1 year, 50 years and 100 years, Hejian area
图 3 唐山1年、50年和100年不同超越概率的危险性结果 Fig. 3Exceeding probability vs. intensity for 1 year, 50 years and 100 years, Tangshan area
图 4 唐山(包括唐山地震)1年、50年和100年不同超越概率的危险性结果 Fig. 4Exceeding probability vs. intensity for 1 year, 50 years and 100 years, Tangshan area (including Tangshan earthquake)
图 5 承德1年、50年和100年不同超越概率的危险性结果 Fig. 5Exceeding probability vs. intensity for 1 year, 50 years and 100 years, Chengde area
图 6 宁晋1年、50年和100年不同超越概率的危险性结果 Fig. 6Exceeding probability vs. intensity for 1 year, 50 years and 100 years, Ningjin area
图 7 宁晋(包括邢台地震)1年、50年和100年不同超越概率的危险性结果 Fig. 7Exceeding probability vs. intensity for 1 year, 50 years and 100 years, Ningjin area (including Xintai earthquake)
图 8 石家庄(考虑烈度误差为1)1年、50年和100年不同超越概率的危险性结果 Fig. 8Exceeding probability vs. intensity for 1 year, 50 years and 100 years, Shijiazhuang area (intensity error allowance is 1 )
图 9 石家庄(考虑烈度误差为0.5)1年、50年和100年不同超越概率的危险性结果 Fig. 9Exceeding probability vs. intensity for 1 year, 50 years and 100 years, Shijiazhuang area (intensity error allowance is 0.5 )
表6 各城市计算得到的50年超越概率10%的烈度值与烈度区划图结果的比较 Table 6 Comparison of our results to that from seismic zonation map of China ( exceeding probability of 10% for 50 years)
4 不确定性分析

在应用本方法进行计算时,主要的误差来自由历史文献的记载推算的烈度误差,为了研究由这样的误差所造成结果变化的大小,进行了如下几种计算:

计算方案1:14世纪以前的误差为1°,其后的误差为0.5°;

计算方案2:全部烈度值的误差都为1°;

计算方案3:全部烈度值的误差都为0.5°。

表7给出了这3种计算的结果,从结果可以看出,不同方案的误差不大于1°。

表7 各城市各计算方案得到的50年超越概率10%的烈度值的比较 Table 7 Comparison of the results obtained from 3 schemes in different cities
5 结论

(1)本方法仅应用历史地震文献的记载,减少了多层次的分析和计算,由此减少了结果的误差和不确定性,这是本方法的长处所在。

(2)从计算结果来看,大部分城市的结果与地震区划图的结果相对应,但对那些发生了大地震的区域来说,大地震前后的结果有明显的差异。

(3)本方法的不确定性主要来自由文献推算烈度所带来的误差,而从结果来看,其误差并不明显。

参考文献
1.丁韫玉,耿秀玲,1991.潜在震源区不确定因素分析.中国地震,7(4):33—38.
2.高孟潭,1984.京津唐地区地震危险性分析.国家地震局地球物理所硕士学位论文
3.河北省地震局,1990.河北省地震资料汇编.北京:地震出版社
4.金学申,1994.不同精度资料的地震危险性方法.地震学报,16(3):281—287.
5.李善邦,1981.中国地震.北京:地震出版社
6.刘昌森,1993.历史有感地震处理的原则和方法.东北地震研究,9(3):16—24.
7.鄢家全,韩炜,1996.地震活动性参数的不确定性及其对区划结果的影响.中国地震,12(增刊):71—77.
8.朱丽,胡贤,1986.地震危险性分析中的不确定性分析.国家地震局工程力学研究所研究报告
9.Aki K.,1965.Maximum likelihood estimate of bin the formula logN=a-bM and its confidence limits.Bull.Earthquake Res.Inst.,Tokyo Univ.,43:237—239.
10.Bender B.,1986.Modeling source zone bounding uncertainty in seismic hazard analysis..B.S.S.A,76(2):329—341.
11.Edwards A.W.F.,1972.Likelihood.Cambridge University Press,Newyork,p.235.
12.McGuire R.B.,1995.Probabilistic seismic hazard analysis and design earthquakes:closing the loop..B.S.S.A,85:1275—1284.
13.Rao C.R.,1973.Linear Statistical Inference and Its Application.Ed.2,John Wiley and Sons,New York,P.625.
14.Utsu T.,1965.A method for determining the value of b in formula logn=a-bM showing the magnitude-frequeney relation for earthquakes.Geophys.Bull.Hokkaido Univ,13:99—103.