引言

在目前的结构健康监测方法中,结构模态频率变化是评价结构状态的常用要素之一。然而实际的工程结构是在各种环境因素的影响下工作的,这些环境因素包括地脉动、温度、湿度、车流量、风和太阳辐射等。除了结构自身质量、刚度发生变化外,环境因素的变化也会引起结构频率的改变。某些情况下,这种由环境因素引起的模态频率波动可能会掩盖结构局部损伤对模态频率的改变(Wahab等,1997;Yuen等,2010;Xu等,2007)。因此,研究环境因素与模态频率的关系,进而消除这些因素对频率识别的影响显得十分重要。

Sohn等(1999)利用阿拉莫萨峡谷大桥的监测数据,采用线性方程对模态频率与环境温度进行建模,发现模态频率的变化与温度呈现线性关系。Peeters等(2001a;2001b)对瑞士的Z24大桥进行了为期一年的监测,利用线性回归等方法对模态频率与环境因素进行研究,结果显示,风力、湿度和降雨量与该大桥模态频率没有明显关系。由于线性模型不足以满足环境因素对模态频率影响的复杂性,近年来,Ni等(2009;2005)及Zhou等(2010)运用神经网络技术(ANNs)、支持向量机技术(SVM)等对模态频率与环境温度的关系进行了研究,从而验证了环境温度与模态频率间的非线性关系。此外,如回归树(R_Tree)、随机森林(RF)等技术也相继被运用到此类问题的研究之中(Irwanda等,2014)。

本文基于《珠江黄埔大桥模态频率连续监测中的温度影响Ⅰ:频率识别》(朱嘉健等,2016)的分析结果,采用多项式回归方法和支持向量机回归分析方法(SVR)对识别得到的频率与环境温度进行建模,比较分析不同模型的预测效果。最后根据拟合模型,消除温度对识别频率的影响,观察消除温度影响后的频率波动状况。

1 相关性研究

从《珠江黄埔大桥模态频率连续监测中的温度影响Ⅰ:频率识别》(朱嘉健等,2016)可知,本文识别频率与温度记录的时间间隔均为10分钟。为了便于展示,本文对每个小时内的温度和频率数据取均值,以此代表该时段内的有效温度与有效频率。本文采用的温度数据由距离黄埔大桥约4.1km处的气象站记录得到。由此,得到了实测的频率和温度的同步时间序列,如式(1)所示,

(1)
Fc=(f1c,f2c,,fhc,,fHc) ü
ý
þ
T=(t1,t2,,th,,tH)

其中,fhcth分别表示第h个小时的频率和温度数据,上标c表示频率阶数。

图1为2013年11月第8阶识别频率与温度的时程曲线。曲线显示,频率和温度均存在以天为周期的有规律的波动。为更清楚地显示频率与温度变化规律,图2展示了2013年11月29日的温度以及波动较大的两阶识别频率的变化曲线。不难看出,识别得到的大桥频率会明显地随着温度的增大而减小。

图 1 2013年11月频率与温度时程曲线 Fig. 1Time-history curves of frequency and temperature in November 2013
(a)Frequency time-historg curre of the 8th order;(b)Temperature time-history curve

为了进一步探讨频率与温度的相关性,采用2013年11月的温度与识别频率,提取第8和第9阶频率作线性拟合,拟合结果如图3所示。从图中可以看到,模态频率与环境温度呈明显的负相关关系。此外,结合95%的置信区间可以看出,数据均集中分布在拟合曲线两侧,从而说明黄埔大桥的模态频率与温度具有很强的相关性。根据线性拟合结果进行计算,2013年11月内8、9阶识别频率与温度的相关系数分别为-0.8521和-0.8288。然而从图3也可以发现,频率与温度并不是呈线性相关的,因此,图3只展示了频率与温度的相关程度,而它们之间的非线性关系将在后文进行探讨。

图 2 识别频率随温度变化图像 Fig. 2Modal frequency variation with influence of temperature
图 3 频率随温度的分布及其线性拟合 Fig. 3Distributions of modal frequencies and the linear regressions respective to temperature
2 温度-频率模型分析

据Ni等(2005;2009)的研究结果,环境温度与模态频率间存在非线性关系。因此,本文采用非线性的多项式和支持向量机(SVM)两种回归模型对模态频率与环境温度的关系进行模型分析。需要指出的是,限于所采用的样本数据,本文所建立的模型只适用于正常的大气温度变化范围(温度样本中的温度范围为11—38℃)。

这里选用2013年10月至11月的有效监测数据(即频率、温度数据均无缺失)进行研究。以1000组测试数据作为训练样本建立模型,训练样本记为F͝  c1000×1T͝  c1000×1。然后以208组测试数据作为测试样本以观察和检验该模型的预测能力,测试样本记为F͡  c208×1T͡  c208×1

2.1 多项式回归模型

由于本文只关心环境温度因素对模态频率的影响,且温度仅有一个测点数据,因此该问题可化为一元多项式模型处理,表达形式如式(2)所示,

fc(t)=a0c+a1ct+a2ct 2+…+apct p
(2)

其中,f c为第c阶频率,t为温度,p为模型阶数。那么,问题就转化为根据样本数据求解系数向量ac=(a0c,a1c,…,apcT。系数向量ac可以通过最小二乘法等方法求解。

此处选择第9阶识别频率,应用三次多项式模型,即p=3,进行建模分析。图4展示了基于三次多项式模型的回归分析结果。如图所示,由回归模型计算得到的频率曲线与实测的频率曲线形状基本吻合。说明三次多项式模型在该研究问题上具备良好的拟合精度和泛化性。

图 4 第9阶频率的三次多项式模型拟合结果 Fig. 4Regression of the 9th order frequency based on cubic polynomial model
2.2 基于SVR回归分析的非线性模型

支持向量回归(SVR)是由支持向量机技术(SVM)衍生出来的一种非线性回归分析方法。SVR的核心在于,利用核函数将复杂的非线性问题映射到新的线性空间进行处理。新空间内的线性方程可以表达为:

y(x)=WTφ(x)+b+e
(3)

其中,w是权向量,b为常数,e为误差,φ(x)则是关于输入向量x的转换函数。如果有一个训练样本{xiyi}(i=1,2,…,N),则SVR模型可以转化为最优问题进行求解(Suykens等,2002)。最后得到线性方程组,
(4)



0  1N×1
1N Ω+γ-1IN






α
b



=


0
Y




其中Y=[y1,…,yN]Tα=[αi,…,αN]T为拉格朗日乘子,γ为正则化参数。而Ω就是基于核函数计算得到的核矩阵。Ω中的每一个元素可以通过式(5)计算得到,
Ωij=φ(xi)Tφ(xj)=K(xi,xj)
(5)

因此,通过求解式(4)便可以得到需要拟合的模型。观察式(5)不难发现,在SVR方法中,核矩阵Ω是由核函数K(xi,xj)决定的。所以,我们并不需要知道转换函数φ(x)的确切表达式,只需要确定核函数K(xi,xj)便能确定回归模型。核函数种类很多,需要根据不同的实际情况选取。本研究中选取了比较常用的高斯径向基函数(RBF)K(xi,xj)=e-‖xi-xj2/2σ2进行建模分析。

同样选取第9阶识别频率进行研究,回归模型计算结果如图5所示。可见无论是拟合结果还是预测结果,与实测样本的曲线都十分相近。因此,说明基于径向基核函数的SVR回归方法也能为温度-模态频率的关系建立合理的模型。

图 5 第9阶频率的径向基模型拟合结果 Fig. 5Regression of the 9th order frequency based on SVM nonlinear model
2.3 模型质量分析

为了检验和比较模型的拟合质量,对模型的残差进行了分析研究。若拟合模型用F c(th)表示,则定义模型的拟合残差为efc(h)=f͝ hcFc(t͝ h),预测残差为epc(h)=f͡ hcF c(t͡ h)。根据拟合残差和预测残差,计算均方误差、峭度和偏度三个评价指标。其中均方误差为残差ec的均方差,反映模型的精度。残差的峭度定义为,

(6)
Kur= 1
H
H

h=1
(ehce-c)4


1
H
H

h=1
(ehce-c)2
2

而残差的偏度可以定义为,
(7)
S= 1
H
H

h=1
(ehce-c)3


1
H
H

h=1
(ehce-c)2
3/2

残差的峭度与偏度都是衡量其幅值分布正态性的度量。峭度用于评价残差分布的陡缓程度:Kur3表示残差分布比正态分布平扁;Kur3表示残差分布比正态分布尖。而偏度用于评价残差分布的不对称性:S0表示残差分布的绝大多数值(包括中位数在内)位于平均值的右侧;S0表示残差分布的绝大多数值(包括中位数在内)位于平均值的左侧。因此Kur的值越接近3,且S的值越接近0,说明残差分布越接近正态分布。而残差分布越接近正态,说明模型质量越高。

图6和图7分别为多项式模型和支持向量机模型的残差分布情况。对比残差分布状况与正态分布曲线,两种模型下拟合残差的分布均比预测残差分布更接近正态。说明两种模型都已经达到较高的拟合精度要求,能很好地反映训练样本的真实状态。而对于测试样本的预测还存在一定的偏差,即拟合模型的泛化性还需提高。

图 6 9阶频率的三次多项式模型残差分布 Fig. 6Residues distribution of the 9th order frequency based on cubic polynomial model
图 7 9阶频率的径向基模型残差分布 Fig. 7Residues distribution of the 9th order frequency based on SVM nonlinear model

为了对比两种模型的泛化能力,表1记录了两种模型下第7、8、9阶识别频率的模型误差评价参数。从表1可知,三次多项式模型与支持向量机模型对于所应用的黄埔大桥数据的泛化性和拟合精度十分接近。两种模型得到的均方误差都较小,说明模型的精度足够高。而峭度均接近3,偏度均接近零,表示拟合模型均能比较充分地反映数据特征。综合来说,三次多项式模型与径向基模型均能很好地模拟环境温度与模态频率的非线性关系。

表1 模型误差参数值 Table 1 Error parameters of regressive models
2.4 温度影响的消除

建立温度-频率模型后,可尝试利用这两种温度-频率模型,消除识别频率中温度对频率的影响(樊可清等,2006)。计算公式如式(8)所示,

fhc=f¯ c+f ~hcF c(th)
(8)

其中,f¯ cc阶频率的期望值,而f ~hc是由实测数据识别得到的频率值。图8和图9为消除温度影响后的频率时程曲线。图8和图9表明,消除温度影响后,频率以24小时为周期的波动已经被大大削弱,因此,得到的这一频率可在健康监测中更好地表征结构自身特性的变化情况。另外,这一结果也再次说明,这两种非线性模型均具备良好的能力,可以较好地拟合模态频率与环境温度的关系。

图 8 三次多项式模型下消除温度影响后的频率时程曲线 Fig. 8Frequency variation after elimination of temperature influence based on cubic polynomial model
图 9 支持向量机模型下消除温度影响后的频率时程曲线 Fig. 9Freguency variation after elimination of temperature influence based on SVM nonlinear model
3 结语

本文基于黄埔大桥强震动台阵监测数据识别得到的频率和温度的关系进行了建模研究。首先,采用线性拟合观察识别频率与环境温度的关系。结果显示,大桥频率与环境温度呈现明显的负相关关系。其次,提取黄埔大桥两个月的连续监测数据,分别应用非线性的三次多项式模型和支持向量机模型进行拟合建模。各非线性模型的残差分析结果表明,频率与温度之间存在明显的非线性关系,三次多项式模型和支持向量机模型均能很好地对样本数据进行拟合,并能根据拟合模型得到可靠的预测结果。最后,从消去温度影响后的频率时程曲线可以看出,频率以24小时为周期的波动明显减弱。本文的结果表明,温度是引起频率变化的各环境因素中的一个重要因素,其他因素在对大桥模态频率识别的影响有待进一步研究。

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