引言

对于非平稳的地震信号,单纯的时域或频域分析均无法刻画信号随时间的变化,难以满足目前高分辨率地震数据分析处理的需求。时频分析为非平稳时变信号分析处理的有力手段,其主要联合时间域和频率域对信号进行分析处理,以准确获得信号频率随时间变化的特征(周怀来等,2008;陈爱萍等,2005)。通过对地震数据进行时频分析处理,可细致地刻画出各种波的时频结构及性质,清晰地展示地震信号任意时刻的频率特征及能量分布,以更全面、直观地反映地震数据的时频特征,更有效地进行地震数据的精细化处理及综合分析研究(李辉峰等,2006)。

根据时频联合函数的不同可将时频分析方法分为线性和非线性时频分析两大类。典型的线性时频分析主要有短时傅里叶变换、Gabor展开、希尔伯特变换和小波变换等。非线性时频分析主要用二次型表示,如Wigner-Ville时频分布(邹文等,2004)。根据测不准原理对窗函数时频分辨力的制约,短时傅里叶变换的时窗大小固定,低、高频分析效果差;希尔伯特变换虽可以很好地解析信号,但难以对多频信号进行分析处理;小波变换因小波的选取不确定,使其具有多解性,加之尺度因子与频率无直接关联,因此并不是一种真正的时频分析(赵淑红等,2007;魏学强等,2013)。1996年,美国地球物理学家Stockwell在短时傅里叶变换和连续小波变换的基础上,通过引入窗宽和频率相关的高斯窗函数,提出了有名的S变换(Stockwell等,1996;Pinnegar等,2003)。S变换继承和发展了短时傅里叶变换和小波变换的优点,具有良好的时频分析特性,曾一度成为非平稳信号分析处理的有效工具(李玲利等,2012)。根据信号的时频分辨性与所选基本小波的关系可知,S变换以固定的Morlet小波为基本小波,使得S变换的时窗不能十分灵活地适应频率的复杂变化,从而导致其时频分辨率不够理想,在一定程度上影响了时频分析的效果(高静怀等,2003)。

1 方法原理

针对S变换的不足,广义S变换通过引入λp两个参数对S变换中的基本小波进行扩展,使时窗能够更灵活地随频率变化。

信号x(t)的广义S变换:

(1)
Gst(t,f)=  +∞-∞ x(t) λ|f|p
2π
e λ2f 2p(τt)2
2
e-2πiftdt

其中,Gst(t,f)为信号x(t)的广义S变换,t为时间,f为频率,τ为时窗函数的中心点,它控制高斯函数在时间轴上的位置。

广义S变换的基本小波:

(2)
wf (t)= λ|f|p
2π
e λ2f 2pt2
2
e-2πift

在公式(1)中,当λ=1,p=1时,即为S变换。对公式(1)进行离散化,即得广义S变换的离散表达形式:

(3)
Gst é
ê
ë
jT, n
NT
ù
ú
û
= 1
N
N-1

m=0
H é
ê
ë
m+n
NT
ù
ú
û
e 2π2m2
λ2n2p
e 2πmij
N

由上可知,广义S变换是在S变换的基础上,通过加入参数对S变换基本小波进行了扩展,使时窗的形状和大小能紧随频率变化,并严格依赖λp两个参数(其中,λ对时窗进行线性调整,p对时窗进行指数调整),即在低频段,时窗变得较宽,频率分辨率得到了提高;在高频段,时窗又变得较窄,时间分辨率得到了提高(陈学华等,2008)。在实际应用中可根据需要,合理设定λp两参数,使时窗能够自适应频率变化,从而细致地刻画信号的局部特性,获取理想的时频分析效果(张先武等,2013)。

2 模型测试

为了比较S变换与广义S变换的时频分析效果,笔者利用公认的检验时频分辨性能好坏的线性调频信号进行了测试对比。先将两个不同的线性调频信号进行叠加,叠加后时间序列如图1(a),再对叠加信号分别进行S变换和广义S变换,得到的时频谱分别如图1(b)和1(c)所示(图1(b)为S变换时频谱,图1(c)为广义S变换时频谱)。对比图1(b)和图1(c)可以发现,S变换和广义S变换的时频谱虽都清晰地展示出叠加信号频率随时间的线性变化情况,但不同的是,S变换时频谱只是在低频段信号的聚焦性良好、时频分辨率较高,而在中、高频段信号的聚焦性明显不及低频段,时频分辨率也较差;广义S变换时频谱不仅在低频段信号聚焦性强、分辨率高,并且在中、高频段信号的聚焦性也没有减弱,单个Chirp信号的时频变化状况都得到了清晰、准确地展示,尤其在二者的交汇处时频聚焦性要明显高于S变换。总体而言,广义S变换时频谱能更全面、准确地刻画叠加信号的时频变化特征,各频段的信号聚焦性强,时频分辨率高,信号的时间、频率对应关系准确,能更清晰、细致地反映信号局部特性。

图 1 线性调频信号的时间序列、S变换及广义S变换时频谱 Fig. 1The time series of LFM signal, and the time-frequency spectrum of ST and GST
3 实际试算

为验证广义S变换对实际地震数据的分析处理效果,笔者以某地区二维单炮地震数据为例加以分析说明。该单炮数据采用单边激发方式,采样率为4ms,接收道数为95道,记录长度为6s。为了便于分析,抽取该炮第80道500—1500ms的地震信号(图2(a)),分别进行S变换和广义S变换(取λ1.8,p=1.05),得到了S变换时频谱和广义S变换时频谱,分别如图2(b)和图2(c)所示。

对比图2(b)和图2(c)可知,地震信号的广义S变换时频分辨率要明显高于普通的S变换,并且它与原始信号的对应关系更准确,能更准确地标定地震信号在各时刻的频率变化情况。由图2(c)可看出,地震波在500ms附近频率较大、能量较强,结合原始地震信号(图2(a)),根据地震波运动学原理,初至波由于传播距离短、能量强、频率衰减小,在时频谱
图 2 某地区单炮第80道500—1500ms地震信号、S变换和广义S变换时频谱 Fig. 2The 500—1500ms seismic signal with 80th trace of single shot record in the region (a), the time-frequency spectrum of ST (b) and GST (c)

上表现为高频强能量,据此可以判定地震波的初至在520ms左右。在500—1000ms之间,由于地震波向下传播并产生球面扩散,从广义S变换时频谱中可以明显看出该段地震信号总体上频率降低、能量减弱,而其中夹杂的个别不规则高频成分跳动,应为近地表随机高频噪音干扰。在1000—1500ms之间,由于大地的低通滤波作用使得夹杂的高频噪声被滤除,从广义S变换时频谱中可以看出,该段地震波的频率明显降低,且较稳定,频率主要集中在18Hz左右,其中伴有一些低频面波及高频随机噪声干扰,但有效波明显发育良好。通过实际地震数据试算可知,广义S变换能更清晰、准确、直观地反映地震数据的局部信息特征,能更细致地表现出地震信号频率随时间的变化特征,并有效区分干扰和有效信息,对于地震数据的高分辨率精细化处理和解释具有一定的实用意义。

4 结论

广义S变换继承和发展了S变换的优点,克服了S变换时窗固定的不足,其时窗能严格依赖频率且自适应调整,能有效揭示地震信号所含频率及其随时间的变化,确定任意时刻地震数据的频率成分及大小,准确反映地震波场的变化特征,在一定程度上提高了地震数据的时频分辨率。通过对地震数据的广义S变换时频分析,可掌握干扰波的发育规律,指导野外采集时仪器参数的设置,能准确获取地震信号时频分布特征,更有针对性地去除传统滤波不易被滤除的非线性噪声,提高地震数据信噪比,同时,对地震资料的解释也具有一定的实用价值。

谨以此文向中国地震局地球物理勘探中心成立60周年献礼!

参考文献
1.陈爱萍,邹文,2005.基于S变换的面波压制技术世界地质,24(1):82—86.
2.陈学华,贺振华,黄德济,2008.广义S变换及其时频滤波信号处理,24(2):28—31.
3.高静怀,陈文超,李幼铭等,2003.广义S变换与薄互层地震响应分析地球物理学报,46(4):526—532.
4.李辉峰,彭文,2006.用S变换做精细时变滤波天然气工业,26(3):44—50.
5.李玲利,王清东,沈文渊等,2012.S变换在面波去噪中的应用地震学报,34(6):830—840.
6.魏学强,李辉峰,杨超,2013.基于广义S变换的沉积旋回分析方法研究西安石油大学学报(自然科学版),28(4):35—40.
7.赵淑红,王璇,2007.S变换时频滤波与其它滤波方法的比较西北地震学报,29(3):224—229.
8.周怀来, 李录明,2008.广义S变换在地震信号特征信息提取中的应用新疆石油地质,29(6):758—760.
9.张先武,高云泽,方广有,2013.带有低通滤波的广义S变换在探地雷达层位识别中的应用地球物理学报,56(1):309—316.
10.邹文,陈爱萍,顾汉明,2004.联合时频分析技术在地震勘探中的应用勘探地球物理进展,27(4):246—250.
11.Pinnegar C. R., Eaton D.W.,2003.Application of S transform to prestack noise attenuation filtering.Geophys, Res, 108(B9):1—10.
12.Stockwell R. G., Mansinha L., Lowe R. P.,1996.Localization of the complex spectrum: The S transform. IEEE Tran.On Signal Processing, 17:998—1001.