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土-结构相互作用分析中几类地震输入方式的比较
土-结构相互作用分析中几类地震输入方式的比较
赵密*, 王利涛, 高志懂, 杜修力, 黄景琦
(北京工业大学,城市与工程安全减灾教育部重点实验室,北京 100124)
 [收稿日期]: 2017-04-24
摘要

地震作用下土-结构动力相互作用的整体有限元分析需要在人工边界处输入地震动。目前可能采用的地震输入方法包括黏弹性边界自由场输入方法、自由场应力方法、自由场位移方法以及侧边界自由方法。由于采用近似人工边界条件或者未完全考虑地震自由场,上述地震输入方法均为近似方法。本文以大开地铁车站二维有限元分析为例,根据规范建议的边界位置,研究了上述地震输入方法的精度,研究成果可为土-结构相互作用分析的合理地震输入提供一定参考。



引言

大型地下结构、高坝、核电站、大跨度桥梁等基础设施工程的抗震分析需要考虑土-结构动力相互作用。地震作用下土-结构动力相互作用的有限元直接方法或者称为整体式方法见专著(Wolf, 1985, 1988杜修力,2009)。该方法引入虚拟边界(称作人工边界)截去土体的无限域部分,取出结构及其附近土体形成有限域,采用有限元法模拟。人工边界处需要作如下两方面处理:一是施加人工边界条件来模拟散射场的透射或者吸收散射场;二是计算无结构规则场地的地震自由场反应,在人工边界处实现自由场输入。

在人工边界条件方面,研究者已经提出了多种方法。众所周知的人工边界条件是黏性边界(Lysmer等,1969)、黏弹性边界(Deeks等,1994刘晶波等,1998杜修力,2000杜修力等,2006aDu等,2010a)、多次透射公式(Liao等,1984;廖振鹏;2002)、无限元法(Zhao等,2009)、边界元法(张楚汉等,2001)。自20世纪90年代至今,提出并且受到广泛关注的方法包括:完美匹配层法(Bermúdez等,2010)、高阶局部无反射边界条件(Givoli,2004)、比例边界有限元法(Wolf,2003)、高精度应力型时域人工边界条件(Du等,2010bZhao等,2011赵密等,2012)等。在上述各类方法中,黏性边界是在每个人工边界自由度施加一个远端固定的阻尼器,物理意义清楚、容易实现、高频稳定,并且具有可用工程精度等优点,适于分析复杂工程问题,已被一些商用有限元软件采纳。然而,黏性边界未对分析模型提供刚度约束,在分析模型未受其他刚度约束条件下,计算模型可能产生刚体位移,计算结果出现低频飘移失稳现象。黏弹性边界是在每个人工边界自由度施加一个远端固定的并联弹簧-阻尼器系统,除具有黏性边界的上述优点以外,由于弹簧为分析模型提供刚度约束,因而避免了黏性边界的低频飘移失稳问题。研究者们也已经提出了基于黏弹性边界的地震输入方法(刘晶波等,1998杜修力,2000杜修力等,2006a)。黏弹性边界及相应的地震输入方法已经获得了广泛的工程应用(杜修力等,2006b陈灯红等,2010包锐等,2013)。

黏弹性边界是基于全空间均匀介质中柱面波和球面波假定推导得到的,对于地震作用下成层半空间场地等复杂模型而言是近似方法。使用者在应用黏弹性边界及相应的地震输入方法时,通常有如下两方面困扰:一是如何确定黏弹性边界常数,尤其在成层半空间场地条件下;二是方法难于在商用有限元软件前处理阶段实现,需要通过编程来实现批量输入。

本文将上述地震输入方法称为黏弹性边界自由场输入方法,首先以大开地铁车站的二维有限元分析为例,根据规范建议的边界位置,研究了两类黏弹性边界及其常数不同取值对计算结果精度的影响。其次,数值试验表明,人工边界处自由场占总反应90%以上,本文采用忽略散射场即不施加黏弹性边界而仅输入自由场的简化地震输入方法,即强制自由场应力方法或者强制自由场位移方法,研究了两类方法的计算精度。此外,工程中可能存在仅在底部人工边界施加黏弹性边界,而后直接输入入射地震动的简化地震输入方法,该方法不处理侧面人工边界,即无需计算自由场,称作侧边界自由方法。本文也讨论了该方法的计算精度。

1 土-结构相互作用分析的地震输入方法

土-结构动力相互作用时程分析模型如图 1所示。引入人工边界截去土体的无限域部分,取出地下结构及其附近土体形成有限域,采用有限元法进行模拟。线弹性有限域的动力有限元方程可以写为:


图 1 地震作用下土-结构相互作用分析模型示意图 Fig. 1 Dynamic soil-structure interaction model under earthquake
$\left[ \begin{matrix} {{\mathbf{M}}_{\text{RR}}} & {{\mathbf{M}}_{\text{RB}}} \\ {{\mathbf{M}}_{\text{BR}}} & {{\mathbf{M}}_{\text{BB}}} \\ \end{matrix} \right]\left\{ \begin{matrix} {{{\mathbf{\ddot{u}}}}_{\text{R}}} \\ {{{\mathbf{\ddot{u}}}}_{\text{B}}} \\ \end{matrix} \right\}+\left[ \begin{matrix} {{\mathbf{C}}_{\text{RR}}} & {{\mathbf{C}}_{\text{RB}}} \\ {{\mathbf{C}}_{\text{BR}}} & {{\mathbf{C}}_{\text{BB}}} \\ \end{matrix} \right]\left\{ \begin{matrix} {{{\mathbf{\dot{u}}}}_{\text{R}}} \\ {{{\mathbf{\dot{u}}}}_{\text{B}}} \\ \end{matrix} \right\}+\left[ \begin{matrix} {{\mathbf{K}}_{\text{RR}}} & {{\mathbf{K}}_{\text{RB}}} \\ {{\mathbf{K}}_{\text{BR}}} & {{\mathbf{K}}_{\text{BB}}} \\ \end{matrix} \right]\left\{ \begin{matrix} {{\mathbf{u}}_{\text{R}}} \\ {{\mathbf{u}}_{\text{B}}} \\ \end{matrix} \right\}\\ =\left\{ \begin{matrix} 0 \\ {{\mathbf{f}}_{\text{B}}} \\ \end{matrix} \right\}$ (1)

其中,下标B和R分别表示人工边界自由度和其余自由度;$\mathbf{u}$$\mathbf{\dot{u}}$$\mathbf{\ddot{u}}$分别表示位移、速度和加速度;MCK分别是质量、阻尼和刚度矩阵;${{\mathbf{f}}_{\text{B}}}$是地震作用下人工边界处被截去的无限域对有限域的作用力。

将人工边界处的总反应分解为散射场和自由场两部分,作用力、位移和速度可以分别分解为:

${{\mathbf{f}}_{\text{B}}}=\mathbf{f}_{\text{B}}^{\text{S}}+\mathbf{f}_{\text{B}}^{\text{F}}$ (2)
${{\mathbf{u}}_{\text{B}}}=\mathbf{u}_{\text{B}}^{\text{S}}+\mathbf{u}_{\text{B}}^{\text{F}}$ (3)
${{\mathbf{\dot{u}}}_{\text{B}}}=\mathbf{\dot{u}}_{\text{B}}^{\text{S}}+\mathbf{\dot{u}}_{\text{B}}^{\text{F}}$ (4)

其中,自由场用上标F表示,对于水平成层半空间场地和竖直入射地震动,场地反应通过一维场地反应分析确定;散射场用上标S表示,它是未知的。

散射场从有限域通过人工边界辐射或者透射进入无限域,采用人工边界条件来模拟,以黏弹性边界为例,散射场的作用力和运动关系可以写为:

$\mathbf{f}_{\text{B}}^{\text{S}}=-\mathbf{K}_{\text{B}}^{\infty }\mathbf{u}_{\text{B}}^{\text{S}}-\mathbf{C}_{\text{B}}^{\infty }\mathbf{\dot{u}}_{\text{B}}^{\text{S}}$ (5)

其中,$\mathbf{K}_{\text{B}}^{\infty }$$\mathbf{C}_{\text{B}}^{\infty }$分别是黏弹性边界的弹簧和阻尼系数矩阵,集中离散时为对角矩阵。

将式(3)和式(4)代入式(5),然后代入式(2),最终代入式(1),整理得:

$\begin{align} & \left[ \begin{matrix} {{\mathbf{M}}_{\text{RR}}} & {{\mathbf{M}}_{\text{RB}}} \\ {{\mathbf{M}}_{\text{BR}}} & {{\mathbf{M}}_{\text{BB}}} \\ \end{matrix} \right]\left\{ \begin{matrix} {{{\mathbf{\ddot{u}}}}_{\text{R}}} \\ {{{\mathbf{\ddot{u}}}}_{\text{B}}} \\ \end{matrix} \right\}+\left[ \begin{matrix} {{\mathbf{C}}_{\text{RR}}} & {{\mathbf{C}}_{\text{RB}}} \\ {{\mathbf{C}}_{\text{BR}}} & {{\mathbf{C}}_{\text{BB}}}+\mathbf{C}_{\text{B}}^{\infty } \\ \end{matrix} \right]\left\{ \begin{matrix} {{{\mathbf{\dot{u}}}}_{\text{R}}} \\ {{{\mathbf{\dot{u}}}}_{\text{B}}} \\ \end{matrix} \right\}+ \\ & \left[ \begin{matrix} {{\mathbf{K}}_{\text{RR}}} & {{\mathbf{K}}_{\text{RB}}} \\ {{\mathbf{K}}_{\text{BR}}} & {{\mathbf{K}}_{\text{BB}}}+\mathbf{K}_{\text{B}}^{\infty } \\ \end{matrix} \right]\left\{ \begin{matrix} {{\mathbf{u}}_{\text{R}}} \\ {{\mathbf{u}}_{\text{B}}} \\ \end{matrix} \right\}=\left\{ \begin{matrix} 0 \\ \mathbf{K}_{\text{B}}^{\infty }\mathbf{u}_{\text{B}}^{\text{F}}+\mathbf{C}_{\text{B}}^{\infty }\mathbf{\dot{u}}_{\text{B}}^{\text{F}}+\mathbf{f}_{\text{B}}^{\text{F}} \\ \end{matrix} \right\} \\ \end{align}$ (6)

式(6)可以采用标准的结构动力学时间积分算法求解。有限域的有限元模型对应式(6)的等号左边,但不包括$\mathbf{K}_{\text{B}}^{\infty }$$\mathbf{C}_{\text{B}}^{\infty }$。在有限元模型基础上实现地震输入需要考虑如下两个步骤:首先施加黏弹性边界,对应式(6)等号左边的$\mathbf{K}_{\text{B}}^{\infty }$$\mathbf{C}_{\text{B}}^{\infty }$;最后进行场地地震反应分析,计算施加于人工边界处的等效地震荷载,对应式(6)的等号右边。本文将上述地震输入方法称作黏弹性边界自由场输入方法。

本文分析表明,总反应中散射场的含量通常远少于自由场,因而从简化地震输入的角度考虑,可否仅考虑自由场输入而不施加模拟散射场的黏弹性边界,形成在人工边界处强制自由场应力或者强制自由场位移的简化地震输入方法。对于自由场应力方法,式(6)退化为:

$\left[ \begin{matrix} {{\mathbf{M}}_{\text{RR}}} & {{\mathbf{M}}_{\text{RB}}} \\ {{\mathbf{M}}_{\text{BR}}} & {{\mathbf{M}}_{\text{BB}}} \\ \end{matrix} \right]\left\{ \begin{matrix} {{{\mathbf{\ddot{u}}}}_{\text{R}}} \\ {{{\mathbf{\ddot{u}}}}_{\text{B}}} \\ \end{matrix} \right\}+\left[ \begin{matrix} {{\mathbf{C}}_{\text{RR}}} & {{\mathbf{C}}_{\text{RB}}} \\ {{\mathbf{C}}_{\text{BR}}} & {{\mathbf{C}}_{\text{BB}}} \\ \end{matrix} \right]\left\{ \begin{matrix} {{{\mathbf{\dot{u}}}}_{\text{R}}} \\ {{{\mathbf{\dot{u}}}}_{\text{B}}} \\ \end{matrix} \right\}+\left[ \begin{matrix} {{\mathbf{K}}_{\text{RR}}} & {{\mathbf{K}}_{\text{RB}}} \\ {{\mathbf{K}}_{\text{BR}}} & {{\mathbf{K}}_{\text{BB}}} \\ \end{matrix} \right]\left\{ \begin{matrix} {{\mathbf{u}}_{\text{R}}} \\ {{\mathbf{u}}_{\text{B}}} \\ \end{matrix} \right\}\\ =\left\{ \begin{matrix} 0 \\ \mathbf{f}_{\text{B}}^{\text{F}} \\ \end{matrix} \right\}$ (7)

对于自由场位移方法,式(6)退化为:

$\left[ \begin{matrix} {{\mathbf{M}}_{\text{RR}}} & {{\mathbf{M}}_{\text{RB}}} \\ {{\mathbf{M}}_{\text{BR}}} & {{\mathbf{M}}_{\text{BB}}} \\ \end{matrix} \right]\left\{ \begin{matrix} {{{\mathbf{\ddot{u}}}}_{\text{R}}} \\ {{{\mathbf{\ddot{u}}}}_{\text{B}}} \\ \end{matrix} \right\}+\left[ \begin{matrix} {{\mathbf{C}}_{\text{RR}}} & {{\mathbf{C}}_{\text{RB}}} \\ {{\mathbf{C}}_{\text{BR}}} & {{\mathbf{C}}_{\text{BB}}} \\ \end{matrix} \right]\left\{ \begin{matrix} {{{\mathbf{\dot{u}}}}_{\text{R}}} \\ {{{\mathbf{\dot{u}}}}_{\text{B}}} \\ \end{matrix} \right\}+\left[ \begin{matrix} {{\mathbf{K}}_{\text{RR}}} & {{\mathbf{K}}_{\text{RB}}} \\ {{\mathbf{K}}_{\text{BR}}} & {{\mathbf{K}}_{\text{BB}}} \\ \end{matrix} \right]\left\{ \begin{matrix} {{\mathbf{u}}_{\text{R}}} \\ {{\mathbf{u}}_{\text{B}}} \\ \end{matrix} \right\}\\ =\left\{ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right\}$ (8)

并且在式(8)的人工边界处强制自由场位移。

式(6)地震输入方法的侧边界处理较底边界复杂,因而另一种简化地震输入方法是侧边界自由方法,即无需计算自由场,令侧边界自由,底边界按照式(6)输入给定地震动。

2 几类地震输入方法的比较研究
2.1 算例描述

以日本大开地铁车站的地震反应分析为例,研究地震作用下土-结构相互作用分析中上述地震输入方法的精度。结构的几何常数如图 2所示,结构埋深(结构顶面至地表的距离)为4.8m。结构混凝土材料的密度为2490kg/m3、弹性模量为30GPa、泊松比为0.18。沿车站纵向中柱的宽度为1m、柱间距为2.5m,二维平面应变分析时,中柱的弹性模量折减为混凝土弹性模量的1/3.5。工程场地为水平成层半空间土体,场地的材料和几何常数见表 1。采用神户海洋气象站地震记录作为平面剪切波竖直入射,输入的地震记录如图 3所示。土-结构系统的有限元模型如图 4所示。模型尺寸根据规范要求取为结构尺寸的4—5倍,有限元网格密度满足动力分析的精度要求,不考虑土体与结构间的接触非线性。


图 2 大开车站的几何常数 Fig. 2 Geometry constants of the structure
表 1 场地的几何及材料常数 Table 1 Geometry and material constants of the site

图 3 入射地震动时程 Fig. 3 Time histories of incident earthquakes

图 4 大开车站的土-结构系统有限元模型 Fig. 4 Finite element model of soil-structure system of Daikai station
2.2 黏弹性边界自由场输入方法的计算结果

采用黏弹性边界自由场输入方法实现地震输入,黏弹性边界公式见表 2,分别取文献(刘晶波等,2005a)和文献(杜修力等,2006a)的两种黏弹性边界公式,式中的$\rho $$\lambda $G分别是无限域介质的密度、第一和第二拉梅常数,${{c}_{\text{P}}}$${{c}_{\text{S}}}$分别是无限域介质的P波波速和S波波速,r是与人工边界位置相关的几何尺寸。每种黏弹性边界公式的常数又分别按照底部半空间和表层土的材料常数取为两组边界条件。r统一取为有限元模型的高度。采用文献(刘晶波等,2005a)和文献(杜修力等,2006a)黏弹性边界公式的计算结果分别如图 5图 6图 7所示。采用足够大有限域有限元模型的计算结果作为参考解,大模型的尺寸根据地震波的传播速度为有限值,保证在有限分析时间内,经边界反射后的散射场不会到达观测点。图中均给出了黏弹性边界自由场输入方法计算结果的峰值相对误差。由图可见,所有情况下黏弹性边界自由场输入方法的计算结果均与参考解吻合较好,人工边界处位移结果的误差较小,结构中柱顶底相对水平位移以及中柱中部剪力的误差较大,但各量的峰值相对误差均小于5%,左边界深度5.1m处的反应位移时程的傅里叶谱峰值误差均在5%以内,说明两类黏弹性边界以及不同常数取值具有较好的鲁棒性,均能够满足工程精度要求。

表 2 黏弹性边界的常数 Table 2 Constants of the viscous-spring boundary

图 5 黏弹性边界自由场输入方法的计算结果(采用文献(刘晶波等,2005a)的黏弹性边界) Fig. 5 Results of the free field input method based on viscous-spring boundary (after Liu et al., 2005a)

图 6 黏弹性边界自由场输入方法的计算结果(采用文献(杜修力等,2006a)的黏弹性边界) Fig. 6 Results of the free field input method based on viscous-spring boundary (from Du et al., 2006)

图 7 黏弹性边界自由场输入方法的计算结果 Fig. 7 Results of the free field input method based on viscous-spring boundary
2.3 自由场应力方法和自由场位移方法的计算结果

为了说明自由场应力方法和自由场位移方法的可行性,首先比较采用大模型的土-结构动力相互作用分析结果与无结构存在的自由场结果,图 8给出左侧人工边界深度5.1m处的水平位移结果。可以看出,自由场结果基本与土-结构相互作用的结果重合,自由场峰值为土-结构相互作用峰值的93.17%,说明土-结构相互作用的总反应中散射场的含量远小于自由场。根据上述试验现象,考虑忽略散射场即不施加黏弹性边界而仅输入自由场的自由场应力方法和自由场位移方法,两种方法的计算结果如图 9图 10所示。可以看到,人工边界处位移结果的误差较小,结构中柱顶底相对水平位移以及中柱中部剪力的误差较大,各量的峰值相对误差均大于5%,剪力误差最高达21%,说明自由场应力方法和自由场位移方法的误差大于黏弹性边界自由场输入方法,在规范建议边界位置条件下不宜采用,如要采用需进一步增加模型尺寸。


图 8 土-结构相互作用与自由场分析在左侧人工边界深度5.1m处的水平位移 Fig. 8 Horizontal displacement at depth 5.1m of left artificial boundary from soil-structure interaction and free field analyses

图 9 自由场应力方法和自由场位移方法的计算结果 Fig. 9 Results of the free field stress and displacement methods

图 10 左侧人工边界深度5.1m处水平位移频谱(自由场应力法和自由场位移法) Fig. 10 Horizontal displacement spectrum at depth 5.1m of left artificial boundary based on the free field stress and displacement methods
2.4 侧边界自由方法的计算结果

侧边界自由方法的计算结果如图 11图 12所示。可以看到,人工边界处位移结果的误差超过了10%,结构中柱顶底相对水平位移以及中柱中部剪力的误差大于40%,说明侧边界自由方法的误差大于黏弹性边界自由场输入方法以及自由场应力方法和自由场位移方法,在规范建议边界位置条件下不宜采用。


图 11 侧边界自由方法的计算结果 Fig. 11 Results from the free lateral boundary method

图 12 左侧人工边界深度5.1m处水平位移频谱(侧边界自由方法) Fig. 12 Horizontal displacements spectrum at depth 5.1m of left artificial boundary based on the free lateral boundary method
3 结论

本文以大开地铁车站二维有限元分析为例,根据规范建议的边界位置,研究了黏弹性边界自由场输入方法、自由场应力方法、自由场位移方法和侧边界自由方法4类地震输入方法的精度。研究表明,黏弹性边界自由场输入方法的精度最高,两类黏弹性边界方法以及不同边界参数取值条件下,人工边界处位移结果、结构中柱顶底相对位移和中柱中部剪力的峰值相对误差均小于5%。自由场应力方法、自由场位移方法以及侧边界自由方法误差较大,在规范建议的人工边界位置条件下不宜采用,如要采用这3类方法需进一步增加模型尺寸,即将人工边界设置于距离结构较远处。

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Comparison of Earthquake Input Methods in Soil-structure Interaction Analysis
Zhao Mi*, Wang Litao, Gao Zhidong, Du Xiuli, Huang Jingqi
(The Key Laboratory of Urban Security and Disaster Engineering of Ministry of Education, Beijing University of Technology, Beijing 100124, China)
Abstract

The earthquake input is required in the finite element analysis of the seismic soil-structure interaction. The earthquake input methods that can be used in engineering at present include the free-field input method based on viscous-spring boundary, the free-field stress method, the free-field displacement method, and the free lateral boundary method. The results from these methods are all approximate due to the approximate artificial boundary condition or no consideration of the seismic free field. In this paper, the accuracies of the results by these methods are compared by the 2-dimensional finite element analysis of the Daikai subway station where the artificial boundary position is determined according to the code. This work can give a reference on the earthquake input in the soil-structure interaction analysis.



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土-结构相互作用分析中几类地震输入方式的比较
赵密*, 王利涛, 高志懂, 杜修力, 黄景琦
《震灾防御技术》, DOI:10.11899/zzfy20170315