前言

土层地震反应分析是工程场地地震安全性评价和区域地震区划中的重要工作环节(上海市地震局等,2004中华人民共和国国家质量监督检验检疫总局等,2006)。在土层地震反应分析中,关于水平均匀土层的研究最为深入(邢浩洁,2017),建立了相关问题的解析解(吴世明,2000谢定义,2011),如水平均匀土层的水平和竖向线性地震反应的解析解。在实际工程中,土层往往是水平分层的,若要应用水平均匀土层地震反应解析解的理论计算公式,必须把水平分层土层等效为水平均匀土层,其中土层系统的等效阻尼比是需要获取的1个等效参数。此外,在强震作用下土层介质处于非线性工作状态,其非线性地震反应分析一般有3种方法,即频域内的等效线性化计算方法、时域内的等效线性化计算方法和时域内的真非线性计算方法(Idriss等,1968栾茂田等, 1992, 2003)。而在时域内进行土层地震反应计算时,无论是线性问题还是非线性问题,一般应用有限元法并采用基于振型阻尼比的瑞利比例阻尼矩阵的形式,按各自土介质阻尼比形成阻尼子矩阵,然后组装成土层系统的总阻尼矩阵无疑是合理的数值建模方法(Idriss等,1973)。在实际应用中,更为简便、快速的途径是在土层整体层面上,形成系统的瑞利比例阻尼矩阵,为此需首先获得水平均匀土层系统的等效阻尼比。

桩-土动力相互作用是工程结构抗震设计理论研究中的1个重要方面,基于单桩阻抗函数的群桩基础模型已在工程结构抗震计算和设计中得到广泛应用,而单桩阻抗函数的解析解是建立在土层为水平均匀的假定之上。已有研究(楼梦麟等,2012)表明:把水平分层土层等效为水平均匀土层有助于在工程中应用水平均匀土层的研究成果,各国在建筑抗震规范中都有相应的规定(中华人民共和国住房和城乡建设部等,2010)。土层系统等效阻尼比是将水平分层土层等效为水平均匀土层过程中应该考虑的重要力学参数。

本文重点探讨水平分层土层系统的等效阻尼比的计算方法。

1 水平变参数土层等效阻尼比的计算方法

众所周知,土层介质的动力物理特性参数随埋深变化,即便是单一介质的水平土层,也不是水平均匀土层,其动力参数也沿土层深度有所变化,称为水平单层变参数土层。同样,任何水平分层土层也都是变参数水平土层。本文把水平单层变参数土层、水平分层均匀土层和水平分层变参数土层简称为水平变参数土层。下面先讨论一般意义下水平变参数土层系统的等效阻尼比的近似计算方法。

设水平变参数土层总厚度为H,共有n层土,第i层土的中心位置距下卧基岩面的距离为${{z}_{i}}$,该位置处的土介质的阻尼比为$\lambda ({{z}_{i}})$,则该水平变参数土层的等效阻尼比${{\lambda }_{eff}}$为:

$ {{\lambda }_{eff}}=\frac{\int_{0}^{H}{\lambda ({{z}_{i}})f({{z}_{i}})\text{d}z}}{\int_{0}^{H}{f({{z}_{i}})\text{d}z}} $ (1)

式中,$f(z)$为加权函数。

加权函数$f(z)$的形式可有不同选择,本文选择5种加权函数:①假设各层土的阻尼比对等效阻尼比的贡献相同,即权函数$f(z)$是等权函数;②假设各层土的阻尼比对等效阻尼比的贡献随其所处深度从基岩至地表呈正弦函数变化,即权函数$f(z)$取为水平均匀土层第一阶振型的位移分布函数,即为正弦函数;③假设各层土的阻尼比对等效阻尼比的贡献随其所处深度从基岩至地表成余弦函数变化,即权函数$f(z)$取为水平均匀土层第一阶振型的剪切应变分布函数,即第一阶振型的位移分布函数的导数,为余弦函数;④加权函数$f(z)$为倒三角形分布,可看作第2种加权函数的简单近似;⑤加权函数$f(z)$为三角形分布,可看作第3种加权函数的简单近似。上述5种加权函数如图 1所示。


图 1 加权函数分布图 Fig. 1 Plots of weighting function

当5种加权函数的最大值为1时,由式(1)可得到相应的变参数土层等效阻尼比的表达式。

(1) 当加权函数$f(z)=1$时,

$ {{\lambda }_{eff}}=\frac{\int_{0}^{H}{\lambda (z)\text{d}z}}{H} $ (2)

式中,z为土层上任意一点到基岩面的距离,H为土层总厚度(下同)。

(2) 当加权函数$f(z)=\text{sin}\frac{\pi z}{2H}$时,

$ {{\lambda }_{eff}}=\frac{\int_{0}^{H}{\left[\lambda (z)\text{sin}\frac{\text{ }\pi\text{ }z}{2H} \right]\text{d}z}}{\int_{0}^{H}{\left(\text{sin}\frac{\text{ }\pi\text{ }z}{2H} \right)\text{d}z}}=\frac{\text{ }\pi\text{ }}{2H}\int_{0}^{H}{\left[\lambda (z)\text{sin}\frac{\text{ }\pi\text{ }z}{2H} \right]\text{d}z} $ (3)

(3) 当加权函数$f(z)=\text{cos}\frac{\pi z}{2H}$时,

$ {{\lambda }_{eff}}=\frac{\int_{0}^{H}{\left[\lambda (z)\text{cos}\frac{\text{ }\pi\text{ }z}{2H} \right]}\text{d}z}{\int_{0}^{H}{\left(\text{cos}\frac{\text{ }\pi\text{ }z}{2H} \right)}\text{d}z}=\frac{\text{ }\pi\text{ }}{2H}\int_{0}^{H}{\left[\lambda (z)\text{cos}\frac{\text{ }\pi\text{ }z}{2H} \right]}\text{d}z $ (4)

(4) 当加权函数$f(z)=\frac{z}{H}$时,

$ {{\lambda }_{eff}}=\frac{\int_{0}^{H}{\lambda (z)\frac{z}{H}\text{d}z}}{\int_{0}^{H}{\frac{z}{H}\text{d}z}}=\frac{2}{H}\int_{0}^{H}{\lambda (z)\frac{z}{H}\text{d}z} $ (5)

(5) 当加权函数$f(z)=1-\frac{z}{H}$时,

$ {{\lambda }_{eff}}=\frac{\int_{0}^{H}{\lambda (z)\left(1-\frac{z}{H} \right)\text{d}z}}{\int_{0}^{H}{\left(1-\frac{z}{H} \right)\text{d}z}}=\frac{2}{H}\int_{0}^{H}{\lambda (z)\left(1-\frac{z}{H} \right)\text{d}z} $ (6)
2 计算水平分层均匀土层等效阻尼比的加权比例因子

图 2所示的水平分层土层可视为水平变参数土层的1个特例,其土层介质力学特性参数的分布沿竖向埋深呈阶跃函数,即每层土的阻尼比恒定,不随埋深变化。为表述方便,定义${{\lambda }_{i}}$为第i层土介质的阻尼比,${{Z}_{i}}$${{Z}_{i\text{-}1}}$分别为第i层土层上、下界面的Z坐标值,${{h}_{i}}$为第i层土厚度,${{H}_{i}}$为第i层土层中心至土表的距离,也即第i层土层中心面的埋深,它们之间的关系为:${{h}_{i}}={{Z}_{i}}-{{Z}_{i\text{-1}}}$${{H}_{i}}=({{Z}_{i}}+{{Z}_{i\text{-}1}})/2$


图 2 分层土层及相关参数示意 Fig. 2 Illustration of layered soils and corresponding parameters

当各土层的阻尼比为常数时,由式(2)—(6)可分别得到:

$ \begin{matrix} {{\lambda }_{eff}}=\frac{1}{H}\left[\int_{0}^{{{Z}_{1}}}{{{\lambda }_{1}}\text{d}z+}\int_{{{Z}_{1}}}^{{{Z}_{2}}}{{{\lambda }_{2}}\text{d}z+\cdots +\int_{{{Z}_{n\text{-1}}}}^{{{Z}_{n}}}{{{\lambda }_{n}}\text{d}z}} \right] \\ =\frac{1}{H}\left[\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\lambda }_{i}}({{Z}_{i}}-{{Z}_{i-1}})} \right]=\frac{1}{H}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\lambda }_{i}}{{h}_{i}}} \\ \end{matrix} $ (7)
$ {{\lambda }_{eff}}=\frac{\text{ }\pi\text{ }}{2H}\left(\sum\limits_{i=1}^{n}{\int_{{{Z}_{i-1}}}^{{{Z}_{i}}}{{{\lambda }_{i}}\text{sin}\frac{\text{ }\pi\text{ }z}{2H}\text{d}z}} \right)=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\lambda }_{i}}\left(\text{cos}\frac{\text{ }\pi\text{ }{{Z}_{i\text{-}1}}}{2H}-\text{cos}\frac{\text{ }\pi\text{ }{{Z}_{i}}}{2H} \right)} $ (8)
$ {{\lambda }_{eff}}=\frac{\text{ }\pi\text{ }}{2H}\left(\sum\limits_{i=1}^{n}{\int_{{{Z}_{i-1}}}^{{{Z}_{i}}}{{{\lambda }_{i}}\text{cos}\frac{\text{ }\pi\text{ }z}{2H}\text{d}z}} \right)=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\lambda }_{i}}\left(\text{sin}\frac{\text{ }\pi\text{ }{{Z}_{i}}}{2H}-\text{sin}\frac{\text{ }\pi\text{ }{{Z}_{i}}}{2H} \right)} $ (9)
$ {{\lambda }_{eff}}=\frac{2}{H}\left[\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\lambda }_{i}}}{{h}_{i}}\frac{{{H}_{i}}}{H} \right]=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\lambda }_{i}}}\frac{2{{h}_{i}}}{H}\frac{{{H}_{i}}}{H} $ (10)
$ {{\lambda }_{eff}}=\frac{2}{H}\left[\sum\limits_{i\text{=}1}^{n}{{{\lambda }_{i}}{{h}_{i}}\left(1-\frac{{{H}_{i}}}{H} \right)} \right]=\sum\limits_{i\text{=}1}^{n}{{{\lambda }_{i}}\frac{2{{h}_{i}}}{H}\left(1-\frac{{{H}_{i}}}{H} \right)} $ (11)

上述基于水平变参数土层加权函数并通过积分计算获得等效阻尼比的方法(式(2)—(6)),称为方法a。如将式(7)—(11)写成如下形式:

$ {{\lambda }_{eff}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\lambda }_{i}}}{{D}_{ia}} $ (12)

则称${{D}_{ia}}$为第i层土的阻尼比加权比例因子,其值介于0和1之间。对应式(7)—(11)的加权比例因子分别标记为:

$ {{D}_{ia}}\text{=}\frac{{{h}_{i}}}{H} $ (13)
$ {{D}_{ia}}\text{=}\left(\text{cos}\frac{\text{ }\pi\text{ }{{Z}_{i\text{-}1}}}{2H}-\text{cos}\frac{\text{ }\pi\text{ }{{Z}_{i}}}{2H} \right) $ (14)
$ {{D}_{ia}}=\left(\text{sin}\frac{\text{ }\pi\text{ }{{Z}_{i}}}{2H}-\text{sin}\frac{\text{ }\pi\text{ }{{Z}_{i-1}}}{2H} \right) $ (15)
$ {{D}_{ia}}\text{=}\frac{2{{h}_{i}}}{H}\frac{{{Z}_{i\text{-}1}}}{H} $ (16)
$ {{D}_{ia}}\text{=}\frac{2{{h}_{i}}}{H}\left(1-\frac{{{Z}_{i\text{-}1}}}{H} \right) $ (17)

同时,考虑到每层土的阻尼比是恒定不变的,每层土层可取相同的加权系数fi来计算等效阻尼比,将各层直接指定加权系数的方法记为方法b,此时水平分层均匀土层的等效阻尼比为:

$ {{\lambda }_{eff}}\text{=}\sum\limits_{i\text{=1}}^{n}{{{\lambda }_{i}}{{f}_{i}}}/\sum\limits_{i\text{=1}}^{n}{{{f}_{i}}}\text{=}\sum\limits_{i\text{=1}}^{n}{{{\lambda }_{i}}}\left({{f}_{i}}/\sum\limits_{j\text{=1}}^{n}{{{f}_{i}}} \right)\text{=}\sum\limits_{i\text{=1}}^{n}{{{\lambda }_{i}}{{D}_{ib}}} $ (18)

式中,第i层的加权比例因子${{D}_{ib}}$为:

$ {{D}_{ib}}={{f}_{i}}/\sum\limits_{j\text{=1}}^{n}{{{f}_{j}}} $ (19)

本文选用6种加权系数,分别为:①${{f}_{i}}={{h}_{i}}$,即取第i层的层厚为该层的加权系数;②${{f}_{i}}\text{=}\text{sin}\frac{\pi {{H}_{i}}}{2H}$,即取第i层中心面处的均匀土层第1阶振型位移函数值为该层的加权系数;③${{f}_{i}}\text{=}\text{cos}\frac{\pi {{H}_{i}}}{2H}$,即取第i层中心面处的均匀土层第1阶振型的应变函数值为该层的加权系数;④${{f}_{i}}\text{=}\frac{{{H}_{i}}}{H}$,即取第i层中心面处的埋深为该层的加权系数;⑤${{f}_{i}}\text{=}1\text{-}\frac{{{H}_{i}}}{H}$,即取第i层中心面处的高程坐标为该层的加权系数;⑥${{f}_{i}}\text{=}\frac{{{h}_{i}}{{H}_{i}}}{H}$,此时考虑了层厚和埋深的双重影响。楼梦麟等(2012)对第1、4和6种加权系数的取值方法进行了应用和比较,在上述6种加权函数假定下,各层土层的加权比例因子分别为:

$ {{D}_{ib}}\text{=}{{h}_{i}}/H $ (20)
$ {{D}_{ib}}\text{=sin}\frac{\text{ }\pi\text{ }{{H}_{i}}}{2H}/\left(\sum\limits_{j\text{=}1}^{n}{\text{sin}\frac{\text{ }\pi\text{ }{{H}_{j}}}{2H}} \right) $ (21)
$ {{D}_{ib}}\text{=cos}\frac{\text{ }\pi\text{ }{{H}_{i}}}{2H}/\left(\sum\limits_{j\text{=}1}^{n}{\text{cos}\frac{\text{ }\pi\text{ }{{H}_{j}}}{2H}} \right) $ (22)
$ {{D}_{ib}}\text{=}{{H}_{i}}/\sum\limits_{j\text{=1}}^{n}{{{H}_{j}}} $ (23)
$ {{D}_{ib}}\text{=}(H\text{-}{{H}_{i}})/\sum\limits_{j\text{=}1}^{n}{(H\text{-}{{H}_{j}})} $ (24)
$ {{D}_{ib}}\text{=}{{h}_{i}}{{H}_{i}}/\sum\limits_{j\text{=}1}^{n}{{{h}_{j}}{{H}_{j}}} $ (25)

比较式(13)和式(20)可知,对于水平分层均匀的土层而言,以层厚为加权系数的实质是采用了等权加权函数;此外,考察式(25)中的分母,$\sum\limits_{{{j}}{=1}}^{n}{{{{{h}}}_{{{j}}}}{{{{H}}}_{{{j}}}}}=\sum\limits_{{{j}}{=1}}^{{{n}}}{({{{{z}}}_{{{j}}}}-{{{{z}}}_{{{j}}{-1}}})}\frac{({{{{z}}}_{{{j}}}}+{{{{z}}}_{{{j}}{-1}}})}2\text{=}$$\frac{{1}}2\sum\limits_{{{j}}{=1}}^{{{n}}}{({{z}}_{{{j}}}^2-{{z}}_{{{j}}{-1}}^2)}=\frac{{1}}2({{z}}_{{{n}}}^2-{{z}}_{{0}}^2)$,由于${{z}_{n}}\text{=}, H{{z}_{0}}\text{=}0$,其分母可以进一步简化为:$\frac{{1}}2({{z}}_{{{n}}}^2-{{z}}_{{0}}^2)\text{=}$$\frac{{1}}2({{{{H}}}^2}-{{{0}}^2})\text{=}\frac{{1}}2{{{{H}}}^2}$,将此结果代入式(25),可得${{D}_{ib}}\text{=}\frac{2{{h}_{i}}}{H}\frac{{{Z}_{i}}}{H}$,与式(16)中的${{D}_{ia}}$相同,证明了采用三角形分布作为加权函数考虑了层厚和深度的双重影响。

由基于分布加权函数的方法a和直接指定各层加权系数的方法b共形成了11种加权比例因子,实际共提出了9种不同加权比例因子的取值方法,分别表为a1、a2、a3、a4、a5和b2、b3、b4、b5。下文通过算例来讨论不同加权比例因子对土层地震反应计算结果的影响。

3 算例分析

基于土介质耗能机理的试验研究成果,在土动力学原理中常采用滞回阻尼模型,其数学描述是复刚度形式。为此,本文在频域内计算土层的线性地震反应,也可避免时域内的比例阻尼矩阵建模存在问题(楼梦麟,2016)。在假定土介质为线性的条件下,计算了2个水平分层土层的地震反应,通过分析土层地表的地震加速度与位移反应峰值的计算精度来讨论文中所建议的不同加权方法的合理性。采用线性假定可获取土层地震反应的准确解,用于评价近似解的计算精度,所得结论可以推广到水平分层土层的非线性地震反应的计算问题。

3.1 算例1

水平分层土层的总厚度为100m,土层分为10层,每层10m,分层情况如图 3所示。各土层物理参数均为:密度2000kg/m3,弹性模量391MPa,泊松比0.35,换算剪切波速为269m/s。


图 3 分层土层场地 Fig. 3 Layered soil sites

对于水平地震作用下水平分层土层的地震反应,可采用单列平面应变有限元方法来计算(邬都等,2008)。为确保频率低于20Hz的地震波分量均能传到地表而不被滤波,有限元网格的竖向尺寸应满足最小尺寸要求,即最大竖向单元尺度lmax应不大于$\lambda \text{/8}$,其中$\lambda $为对应于最高激振频率的正弦波在此土层中传播的波长,一般情况下基岩地震波的最高激振频率取为20Hz。由土层模型的物理参数知,激振频率为20Hz的正弦波在此土层中传播的波长为:

$ \lambda =v/f\text{=269/20=13}\text{.45m} $ (26)

在本算例中,网格竖向尺寸取l=1m,可满足上述有限单元竖向尺寸的要求。

该平面应变有限元模型底部结点自由度全约束,两侧边界上的结点仅约束竖向自由度,成为侧移边界。

图 3中各层土介质的阻尼比设为不同值后,形成S1、S2和S3共3种水平分层土层模型,3种模型各层土阻尼比的设置值列见表 1。在各层土厚度hi相等的情况下,可以证明式(16)、(17)中的${{D}_{ia}}$分别与式(23)、(24)中的${{D}_{ib}}$相同,由于篇幅限制,在此不再赘述。

表 1同时给出了7种计算方法下的等效阻尼比。

表 1 不同土层模型的阻尼比分布及基于不同计算方法的等效阻尼比 Table 1 Distribution of damping ratios of the soil modals and calculated damping ratios

表 1中的数据表明,方法b2、b3所得的等效阻尼比与方法a2、a3所得值相等,方法a2和a4所得的等效阻尼比相近,方法a3和a5所得的等效阻尼比相近。因此,下文只验算方法a1—a5所得的等效阻尼比对土层地震反应的影响。

对于每一个土层模型,首先在频域中计算分层土层在原始阻尼比时的土层地表的地震反应,将其作为比较的基准值,然后在频域内分别应用方法a1—a5所得的等效阻尼比计算同一土层的地震反应,并与基准值比较,以相对误差水平${{e}_{i}}$判断不同等效阻尼比时的计算精度,相对误差水平的计算公式为:

$ {{e}_{i}}=100\%\times ({{A}_{i}}-{{A}_{0}})/{{A}_{0}} $ (27)

其中,A0表示土层地震反应峰值的基准值,${{A}_{i}}$表示应用等效阻尼比计算所得的同一土层地震反应峰值。

土层下卧基岩面上输入的地震加速度时程分别为实测得到的4条地震加速度时程,分别简称为El-Centro波、Taft波,Kobe波,汶川基岩波,此外还选用了上海地区某工程场地地震安评所得的50年10%概率下的人工基岩波。在计算中,将5条地震加速度时程的幅值均调整为1.00m/s2,相应的时程曲线及其反应谱如图 4所示。


图 4 地震波时程曲线及反应谱 Fig. 4 Time history and response spectrum diagram of seismic wave

表 2给出了各种土层模型下的土层地表绝对加速度与相对位移反应峰值,表 3给出了对应的计算相对误差。

表 2 不同土层模型地表的地震反应峰值 Table 2 Peak seismic response of different soil layer models
表 3 不同土层模型地表的地震反应峰值的相对误差(单位:%) Table 3 Relative errors of peak seismic response of different soil layer models (unit:%)

表 3的数据可以看出,不同的等效方法会产生不同的误差水平,从总体来看,在等厚度分层土层的条件下,近似估算方法a3和a5所产生的误差基本相同,同样,近似估算方法a2和a4所产生的误差基本相同,即用直线代替正弦或余弦曲线来表示加权函数所得的等效阻尼比和产生的计算误差水平基本相同。对于土层模型S1和S2,近似估算方法a3和a5所产生的误差要小一些,且普遍小于5%。而对于土层模型S3,近似估算方法a2和a4所产生的误差要小一些,多数情况下小于5%,只有汶川地震波的误差大一些,主要是由于该地震波的广谱性造成的。进一步比较表明,土层模型S1和S2的阻尼比由地表到基岩呈减小趋势,宜采用正三角形分布的加权函数,而土层模型S3的阻尼比由地表到基岩呈增加趋势,宜采用倒三角形分布的加权函数。

3.2 算例2

以苏通大桥5号桥塔基础处的工程场地为实际算例,进一步讨论不同等效阻尼比近似估算方法的合理性。该工程场地可近似视为水平分层土层,共划分为11层,相关计算参数如表 4所示。

表 4 工程场地土层模型基本参数 Table 4 Parameter of soil sites

根据土的分层情况及相关参数,可得到不同近似估算方法所得的土层等效阻尼比,如表 5所示。从表中数据可以看出,采用方法a3、a5和b2所得的等效阻尼比相等,采用方法a2和a4所得的等效阻尼比相近,采用方法b3和b5所得的等效阻尼比相近。该场地地震反应有限元模型的建立与求解方法与算例1相同,计算结果见表 6表 7

表 5 土层模型各方法计算出的等效阻尼比 Table 5 Equivalent damping ratios of soil site by different method
表 6 土层地震反应峰值 Table 6 Peak value of seismic responses of soil layer
表 7 地震反应计算结果误差(单位:%) Table 7 Errors of seismic response calculation (unit:%)

表 7的数据可以看出,近似估算方法a2和a4产生的误差要小一些,多数情况下小于5%。由于最下层土层厚达176.9m,超过土层厚度304.4m的一半,尽管地表 2层土层的阻尼比较大,但该场地土层的各层土层阻尼比变化总的趋势是由地表向基岩增加,与前一算例中S3土层相似,也有相似的结论。在这种情况下,宜采用近似估算方法a2和a4,且a2和a4的误差水平相当。

此外,从表 7还可以看出,与近似估算方法a2和a4相对应的近似估算方法b2和b4,其计算误差要大的多,表明层厚差别较大时,宜采用基于分布加权函数的方法a,而不采用直接指定各层加权系数的方法b。

4 结语

(1) 在进行水平分层土层地震反应分析时,若所选择的等效阻尼比计算方法不恰当,将导致计算所得的地震反应出现较大的误差,在本文的算例中,最大可达30%。

(2) 在水平分层土层中,若各层土阻尼比由地表到基岩呈增强趋势,则采用a5方法(即正三角形分布)计算等效阻尼比较合理;若各层土阻尼比由地表到基岩呈减小趋势,则采用a4方法(即倒三角形分布)来计算等效阻尼比较合理。

(3) 总体上,采用基于分布加权函数的方法更为合理,适用性更为广泛。

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