引言

地震发生时,震源释放的巨大能量以体波的形式向外传播。随着传播距离的增加,由于受辐射阻尼和材料阻尼的影响,体波在距震中较远处已衰减得较弱,此时地表附近的建筑物或构筑物主要受地震面波的影响,其中又以瑞利(Rayleigh)面波为主要成分。Rayleigh波并非1种新的波型,它是由2类不同的体波(纵波和横波)传播到地表后,在一定条件下发生反射而产生的非均匀纵波和非均匀横波相互干涉和叠加而成。其能量分布一般仅限于距离半空间自由表面1.5—2倍Rayleigh波波长范围的薄层内(萨瓦林斯基,1981杨桂通等,1988)。在传播时,其质点在波的传播方向与表面层法向组成的平面内作逆进的椭圆运动,波速与介质的物理特性有关,一般接近但稍小于横波波速(约为横波波速的0.92倍),且振幅大,传播距离远(吴世明,1997)。已有的震害调查表明,对于浅源地震,在距震中约0.6—5倍震源深度,或20—50km以外的区域,将能观察到明显的面波震害特征(崔杰等,2008)。因此,对于绝大多数的工程结构,尤其位于远场的建筑结构,实际上多处在Rayleigh波起主要作用的地带,故其动力响应分析应该考虑Rayleigh波的影响。

Rayleigh波自1887年被发现以来,已经在地质勘查、隧道施工超前预报等众多领域得到了广泛应用(佘德平,2004王朝令等,2014Yu等,2015)。但对Rayleigh波作用下建筑结构的动力反应特性方面的研究还相对较少,且一般多限于对特殊形状的地下结构或特殊地形所做的理论分析,如梁建文等(2009)巴振宁等(2014)采用直接刚度法等理论工具分析了Rayleigh波入射情况的各类特殊场地地形、地貌情况下的动力特征。对于实际地震作用下土体进入塑性之后,或者对于复杂结构的地震反应以及土-结构动力相互作用的问题,理论方法很难得到解析解。因此,研究如何利用现有成熟的有限元技术实现Rayleigh波场的数值模拟,对于推动Rayleigh波作用下工程结构的抗震性能研究具有现实意义。

本文首先总结了目前进行Rayleigh波场数值模拟的4种思路,其次根据Lamb问题的理论研究成果提出了基于地表激振的Rayleigh波场数值模拟技术,结合Plaxis 2D软件,通过算例验证了所提方法的可行性以及结果的合理性。最后,针对某多层建筑结构,采用所提方法分析了Rayleigh波作用下结构的动力反应特点,并与传统的剪切波输入以及剪切波和Rayleigh波联合输入下的结果进行了对比,论述了不同地震动输入模式对建筑结构动力反应特性的影响。

1 Rayleigh波场数值模拟的种思路

已有的关于Rayleigh波场数值模拟技术的研究,可以归结为4种思路:

(1)直接模拟方法。即利用有限元技术直接建立包含震源在内的大尺度场地模型,结合现有震源模型模拟地震的产生、能量的释放以及波在大范围场地条件下的传播特性。只要震源参数合理、模型尺寸足够大,传播介质的物理和几何参数足够准确,则理论上该方法可以完整地再现体波由震源到场地的传播过程以及在地表经折射叠加进而形成Rayleigh波后的传播情况。罗超(2017)曾利用该思路实现了某河谷地形的地震波场模拟。在实际应用中,该方法面临的主要问题是如何平衡计算效率和计算精度的问题。为了提高计算精度,需要尽可能准确地建立反应实际传播介质几何、物理特征的场地模型,尽管已经提出了旨在提高计算效率的算法,但对于实际工程,如此大的计算规模其耗时也是巨大的。因此,在实际应用中多采用“两步法”,对于结构所在局部场地采用精细化有限元分析,而对于远域则假设为均匀场地或分层场地近似计算,近域和远域通过人工边界进行耦合(Kontoe等,2009刘晶波等,2018)。

(2)等效人工边界波动输入法。刘晶波等(2006)在分析地下结构动力反应时,首先建立了包含地下结构和周围场地的小范围有限元模型,模型底部和侧向边界采用粘弹性人工边界。为得到自由Rayleigh波场,首先假定某一基准点的水平位移时程,再利用Rayleigh波在地表附近任一质点所满足的运动方程,即水平运动和竖向运动的关系,结合傅立叶变换技术得到相应的竖向位移时程。以此Rayleigh波任意角度入射到粘弹性人工边界上,求得人工边界节点上的波动输入等效节点荷载,进一步以此荷载为输入,完成地下结构的动力反应计算。

(3)近似Rayleigh波场模拟方法。岳庆霞等(2008)在研究地下综合管廊抗震特性时利用已有的地震记录,将其视为水平方向的波动,仍然参照Rayleigh波在地表附近任一质点所需满足的运动方程,即水平运动和竖向运动的关系,利用傅立叶变换得到竖直方向的波动,并根据Rayleigh波在土层内部沿竖向的衰减规律,生成不同深度处的位移场,从而得到整个区域Rayleigh波位移场,在此基础上利用有限元方法分析位于其中的地下结构的动力反应。

(4)地表激振法。在地质勘探以及隧道施工超前地质预报领域,王朝令等(2012)苏传行(2017)曾以Lamb问题为原型,研究得到自由表面竖向集中脉冲激振时产生的振动在远离振源处将以Rayleigh波为主要成分,从中详细探讨了用有限元软件模拟Lamb问题时的网格划分、单元选取、人工边界的设置等问题。证实了当远离激振位置一定距离后地面运动将主要受Rayleigh波的影响,从而提供了1种生成Rayleigh波场的数值模拟思路。施有志等(2017a, 2017b)利用该思路,采用三角脉冲激振方式,通过合理设置激振力的振幅和激振时间获得了远场地表的Rayleigh波场,进而分析了地下综合管廊在此波场下的动力反应。

综上所述,在实际应用中4种思路均能在一定程度上定性地模拟Rayleigh波的波场特性,其精度无明显差别。第1种思路理论上最完备,但计算效率和精度难以兼顾,且尚无商业程序;第2、3种思路的物理本质一样,均以Rayleigh方程为基础,结合Rayleigh波沿水平和竖向的衰减特征近似实现整个波场的模拟,区别在于第2种思路将外域波动场的影响等效为近场有限元模型的边界条件,第3种思路则是直接由Rayleigh波的运动学特征生成整个波动场。这2种思路均需在现有商业程序中进行二次开发,以计算Rayleigh波场或人工边界等效节点力。相对而言,第4种思路最为简单易用,一方面,该方法可归结为Lamb问题的数值模拟,可利用Lamb问题的理论研究成果;另一方面,可充分利用现有商业软件简单高效的前后处理技术和丰富的单元库,无需编程或二次开发。因此,本文选择以第4种思路为基础展开进一步的研究。

2 Lamb问题及其研究成果

Lamb(1904)研究了作用在弹性半无限体表面的1条线或1点处以及内部的1条线或1点处等4种冲击载荷条件下弹性波传播问题的解析解,这些问题被统称为Lamb问题。由于该问题的解答在动力机器基础设计方面有一定应用价值,因此学者们对不同激振形式下Lamb问题的解答进行了广泛的研究。王贻荪(1979, 1980, 1982)系统总结了该领域的研究成果,并采用圆心位移影响函数法推导出了半空间竖向集中谐和力和水平集中谐和力作用下产生的表面位移的解析表达式;刘凯欣等(2004)刘广裕等(2007)进一步给出了脉冲载荷作用于弹性半空间的垂直点源问题的1个代数形式精确解,并采用积分变换方法,求得了区域脉冲载荷下1个二维Lamb问题的代数形式的精确解。本文仅给出与Rayleigh波场数值模拟相关的主要研究结论。

2.1 面源激振作用下地表振幅衰减规律

对于面源激振,Woods(1968)对均质各向同性弹性体半空间表面在竖向谐和振动的圆形基础作用下的波动场特征进行了研究,结果表明在地表处,体波以1/r2衰减,而Rayleigh波以$1 / \sqrt{r}$衰减(r为地表不同位置到震源的距离),与点源激振情况下的衰减规律一致,所以在远场处可获得由Rayleigh波起控制作用的波动场。

2.2 远场和近场的划分

研究表明纵波和横波在近场的效应不可忽略,随着距离的增加,在远场体波的影响很小,Rayleigh波起控制作用。对于远、近场的划分,基于现场监测数据和基于理论解分析所给出的公式不完全相同。

令特征因数ar=ωr/cs,其中ω代表激振频率,r代表震源距,cs代表场地剪切波速,王贻荪等(1979)根据集中谐和力作用下地表竖向位移的解析公式,认为ar<2.0时可视为近场,至少在ar>3.5后可视为远场。

根据Rayleigh波长和震源距的关系,高广运(1998)认为对于一般土场地(泊松比≥0.35)、r>2.5λR时(λR为Rayleigh波波长)以及对于较硬岩石场地(泊松比≤0.3)、r>5.0λR时,可视为远场,小于该距离时为近场。

于文福(2017)利用Rayleigh波运动方程推导出了Rayleigh波引起的质点椭圆轨迹的椭圆极化率(椭圆长轴与短轴之比)理论公式,以此作为参照标准,通过对比点源激振方式下地表不同距离质点运动轨迹的椭圆极化率的数值结果与理论值之间的差异,得出了对于不同激振频率的信号,在震源距小于5倍Rayleigh波波长区间属于近场区,此时体波干扰比较明显;而当震源距大于5倍Rayleigh波波长后,则是Rayleigh波占优的远场区,体波干扰较小。这一结论与高广运(1998)在较硬岩石场地下的研究结论一致。

杨先健等(2013)对于动力机器基础的研究结果认为,当满足r<[15,20]r0时为近场波动(r0为机器基础当量半径),r>[15,20]r0时为远场波动。

2.3 振源半径和介质剪切波速的影响

在一定激振频率下,振源半径越大,面波所占比重越高,因而几何衰减也趋缓慢。反之振源半径越小,面波所占比重相应减小,体波所占比重增加,几何衰减趋于加快。

当介质的剪切模量增大时,相应的剪切波速增大。在振源半径不变时,近源面波所占比重减小,近源几何衰减加快(杨先健等,2013)。

2.4 激振频率的影响

按照理想弹性半空间的理论分析结果,激振频率越大,地面竖向振幅的衰减越慢;并且随着激振频率(挠频)的增大,地面竖向振幅的衰减曲线随距离的起伏波动越明显(即竖向位移的衰减并非单调递减)(王贻荪,1982),因此在波动场的数值模拟时应合理设置激振频率。但需要指出的是,上述结论是根据理想弹性半空间的假设得到的,对于实际半空间场地,大量实测资料显示的则是随着挠频增大,衰减越快,这可能是由于实际场地的非弹性性质所致(杨桂通等,1988)。

2.5 场地剪切波速的影响

对于均匀的弹性半空间,Rayleigh波波速与激振频率无关,只与介质物理特性(泊松比和剪切波速等)有关,即在数值模拟Rayleigh波场时若采用均质弹性半空间假设,无论激振频率多大,选定场地材料特性后其Rayleigh波速为确定值。此外,根据Rayleigh波的运动方程可知,在地表处其水平位移与竖向位移相差90°相位,因此在Rayleigh波作用下将会先感受到竖向振动,之后再感受到水平运动,这与实际地震相一致。

3 Rayleigh波场的数值模拟

采用Plaxis 2D程序(刘志祥等,2017),模拟Lamb远场问题,并分析自由场表面质点的运动规律,以校验利用现有有限元软件模拟Rayleigh波场的可行性和结果的合理性。

3.1 模型参数的确定原则

根据Lamb问题的理论研究成果,选取具备一定激振面积的面源激振方式,荷载形式为简谐力荷载。根据在场地某处拟获得的地面运动,谐振力的振幅可由理论衰减公式初步确定,也可通过简单试算来确定;激振频率由拟获取的主要频率范围来确定;建模时由于问题的空间轴对称性质,采用二维轴对称模型。设置有限元的边界距离时,为避免波在人工边界处反射的干扰研究区域的波动场,尽可能使波达不到边界处,或即使达到边界处、其反射波尚未传播到拟研究区域,其可通过调整场地剪切波速、激振时间以及场地尺寸来实现,同时在侧向边界处施加Plaxis中的粘性边界作为吸收边界,以减少波的反射效应(Brinkgreve等,2016)。

根据上述原则,初步设计出模拟Rayleigh波场的有限元模型,如图 1所示。该模型采用15节点三角形单元建立轴对称模型,场地土层水平尺寸50m、深30m,不考虑地下水的影响,共包含3539个节点。振源假设为安置在厚0.2m、直径1.0m的混凝土基础上的振动装置。动力荷载通过简谐荷载模拟,频率10Hz、周期0.1s,振幅经试算后确定为5×104kN/m2,方向向下,此时位于远场地表的竖向位移约0.01m。除了基础的重量,振动装置本身的重量简化为8kN/m2的均布荷载。地基土为砂质黏土,假设为线弹性,参数如表 1所示,其中地基土的弹性模量较高,原因为动荷载较快使得地基土的动力刚度一般大于静力刚度。振动基础由Plaxis 2D中的板单元模拟,其物理参数如表 2所示。


图 1 Rayleigh波场数值模拟的有限元网格划分 Fig. 1 The finite element model for Rayleigh wave field simulation
表 1 Plaxis 2D中土层材料参数 Table 1 Soil material parameters in the Plaxis 2D
表 2 Plaxis 2D中振动基础材料参数 Table 2 Foundation material parameters in the Plaxis 2D

根据上述参数算出该场地剪切波速为97.07m/s,Rayleigh波波速约为90m/s,波长约为9m。在远、近场的划分上,按照王贻荪等(1979)的判断标准,r约为6m,可视为远场;按照高广运(1998)于文福(2017)的标准,r约45m,可视为远场;按照杨先健等(2013)的经验公式,r约为7.5—10m,视为远场。可见高光远、于文福的标准最为严格,王贻荪的标准最宽松,而杨先健的经验公式介于两者之间。

3.2 数值模拟结果

动力分析设为2个阶段,首先简谐荷载强迫振动0.5s(根据Rayleigh波速可知此时传播距离约为45m,尚未达到侧向人工边界),其次自由振动0.5s。为了与上述理论研究成果对比,算例中未考虑土体阻尼的影响。为研究地表距振源不同距离质点的振动情况,分别在地表距振源2m、4m、6m、10m、15m、20m、25m、30m和40m处设置检测点A—I(图 1)。

在设计的激振荷载下,自由振动期间不同时段的有限元网格变形情况(放大50倍后)如图 2所示。


图 2 不同时段有限元网格变形示意图 Fig. 2 Illustration of deformation of finite element nets in different time domains

图 2可以看出,在面源简谐荷载激振作用下,地表运动呈明显的滚动特征,在波动传播到某一位置时,该处网格将产生椭圆形扭曲,与Rayleigh波运动特性一致。

为对比远、近场的不同划分标准,分别给出图 1中地表不同位置处质点的运动轨迹,如图 3所示。


图 3 地表不同位置处质点运动轨迹 Fig. 3 Movement curve at different locations

图 3中的曲线代表地表不同位置处质点的水平位移与竖向位移关系,即质点的运动轨迹。由图可以看出,由于每个点距离震源的距离不同,椭圆的形态也体现出较大差别,靠近震源处的椭圆均存在较明显的倾斜,且距离不同,椭圆的倾斜角度也不尽相同,随着震源距的增大(大于15m),椭圆形态逐渐趋于稳定,并且最终形成1个长轴垂直于自由表面的直立椭圆。造成这种现象的原因是靠近震源处,体波干扰较强,且面波的转换还没有完全成型,椭圆形态不稳定,而在远离震源的位置,由于传播速度的不同以及衰减速度的差异,体波的影响在面波主能量到达之前已经很微弱甚至消失,所以质点的运动开始趋于理想的Rayleigh面波椭圆运动。地表I处(距离震源40m)质点的运动未完成1个椭圆周期,说明此时Rayleigh波刚传到此处,也证明了该模型边界距离的选取符合上述设置原则。

对比上述远、近场的判断标准可以看出,按照王贻荪(1979)的标准,当r>6m视为远场,但从数值结果看,尽管此时形成了椭圆运动,但椭圆形状距理想Rayleigh波引起的椭圆形状尚有明显差异,说明此时Rayleigh波已开始占主导成分,可作为远、近场判断标准的下限值;按照高广运(1998)于文福(2017)的标准,当r>45m可视为远场,此标准稍显严格,可作为判断条件上限值;按杨先健等(2013)的经验公式,当r>10m可视为远场,该经验公式由实际勘测资料确定,计入了实际场地的材料阻尼,考虑到本算例尚无计入土体阻尼影响的因素,但此标准与数值结果符合较好,可作为Rayleigh波场数值模拟中初步判断远、近场的标准。在实际应用中,还应考虑计算的目的、对精度的要求以及场地模型的大小和计算效率等因素,在上、下限之间合理选择。

为细致观察该激振条件下地表动力反应的特点,以地表C处为例,给出其质点运动轨迹,如图 4所示。


图 4 地表C处质点运动轨迹 Fig. 4 Movement curve at point C

图 4可以看出,在加载之初,运动杂乱无章且振幅非常小,这是由于纵波的传播速度最快,质点先接收到纵波信息,随后接收到横波信息,除此之外还有纵波、横波在地表干涉而成的首波效应,在诸多因素作用下质点运动无明显规律。随着加载继续,后期质点的运动呈明显的椭圆轨迹,并且振幅在整个振动过程中最大,表明质点在这一时期内主要受Rayleigh面波影响而发生椭圆形的运动,但由于此时距离震源位置尚不远,体波的干扰比较明显,使得椭圆的长轴有明显的倾角;当Rayleigh面波到达后,质点的振动又逐步回到平衡位置。

图 5给出了地表C处水平运动和竖向运动的位移时程,从中可以看出最早接收到体波信息,随后大部分时间受Rayleigh波控制,在Rayleigh波作用下会同时产生水平运动和竖向运动,且一般竖向位移分量大于水平位移分量,两者之间有一定的相位差。在自由振动阶段,即使没有材料阻尼,但由于几何阻尼的存在,波动也会逐渐衰减。


图 5 地表C处质点不同方向位移时程 Fig. 5 The displacement time histories at point C
4 不同地震动输入模式对多层建筑结构动力反应的影响

土体参数、激振装置和震源参数的设置均与上述算例相同。在距离震源14—24m处有一多层建筑结构(此时建筑结构基本位于远场区域,地面运动以Rayleigh波为主),共两跨,总宽度10m,地上5层,每层3m,地下1层,为2m高的地下室,地下室墙体与周围土体间设置界面单元以模拟土-结构动力相互作用。建筑物的墙体、楼板和地下室底板用Plaxis 2D中的板单元模拟,参数如表 3所示。中间立柱用点对点锚杆单元模拟,参数如表 4所示。由于建筑物的存在,轴对称假设不再适用,需要建立完整的场地模型,含有建筑物的有限元模型如图 6所示。

表 3 建筑物材料属性(板单元) Table 3 The material parameters of the building
表 4 点对点锚杆材料属性 Table 4 The material parameters of the central pillar

图 6 含建筑结构的场地有限元模型 Fig. 6 The finite element model for soil-structure interaction analysis
4.1 Rayleigh波作用下多层建筑结构的动力反应结果

采用地表激振法实现Rayleigh波场的数值模拟,激振参数与上述算例保持一致,为了便于观察多层结构的后期地震反应特点,将自由振动时间增加到4.5s,强迫振动时间仍为0.5s。在此激振条件下,不同时刻建筑结构的振动形态(放大50倍)如图 7所示,顶层两侧角点处的水平和竖向位移时程如图 8所示。


图 7 Rayleigh波作用下不同时刻建筑物的振动形态 Fig. 7 Deformation diagram by finite element model under Rayleigh wave

图 8 Rayleigh波作用下建筑物顶层两侧角点的水平和竖向位移时程 Fig. 8 The displacement time histories in horizontal and vertical at the top of building under Rayleigh wave
4.2 底部剪切波作用下多层建筑结构的动力反应结果

传统的抗震反应分析通常在有限元模型的底部输入垂直向上传播的剪切波,本文用简谐荷载进行描述,基底水平运动振幅设为0.01m(近似等于Rayleigh波作用下自由场分析时建筑结构所在位置的竖向位移大小),频率10Hz,激振时间与Rayleigh波作用情况一致,即0.5s的强迫振动和4.5s的自由振动,其它参数与上述算例相同。不同时刻建筑物的振动形态(放大200倍)如图 9所示,顶层两侧角点处的水平和竖向位移时程如图 10所示。


图 9 剪切波作用下不同时刻建筑物的振动形态 Fig. 9 Deformation diagram by finite element model under shear wave

图 10 剪切波作用下建筑物顶层两侧角点的水平和竖向位移时程 Fig. 10 The displacement time histories in horizontal and vertical at the top of building under shear wave
4.3 剪切波和Rayleigh波共同作用下建筑结构的动力反应结果

实际地震作用时,由于不同地震波传播速度的差异,在远场的建筑结构首先接收到体波,考虑到纵波的衰减较快,此时主要以剪切波为主,随后将接收到以Rayleigh波为主的面波。为模拟实际地震作用的特点,针对上述场地模型,首先考虑在底部输入水平运动时程以模拟剪切波作用,激振时间0.5s,随后留出0.5s自由振动时间,然后由地表激振方式产生Rayleigh波,荷载大小、强迫振动时间与上述算例相同,自由振动时间设为3.5s。在该剪切波和Rayleigh波的联合作用下,建筑物的前半段振动形态与图 9类似,后半段则与图 7类似,顶层两侧角点处的水平和竖向位移时程如图 11所示。


图 11 剪切波与Rayleigh波联合作用下建筑物顶层两侧角点的水平和竖向位移时程 Fig. 11 The displacement time histories in horizontal and vertical at the top of building under Rayleigh and shear wave
4.4 数值试验结果分析

对比图 7图 9可以看出,Rayleigh波作用下建筑结构的振动形态与剪切波作用下存在明显差异,在剪切波作用下,建筑结构主要表现为左右摇晃,以剪切变形为主;而Rayleigh波由于会同时引起地面的竖向运动和水平运动,所以导致建筑结构整体运动形态由左右摆动和上下晃动耦合而成。振动形态的不同进而将导致不同的破坏位置和破坏模式。

对比图 8图 10图 11可以发现,剪切波作用下结构顶层的反应以水平运动为主,竖向位移很小;而在Rayleigh波作用下,整个动力分析时段内的竖向位移基本大于水平位移;在剪切波和Rayleigh波联合作用下,顶层位置前半段以水平运动为主,在Rayleigh波到达后竖向运动与水平运动大致在同一量级,此时建筑结构的动力反应最大。此外,对于抗侧刚度不大的多层框架结构类型,无论哪种地震动输入模式,其水平方向的动力反应持续时间均远大于竖向反应,如在Rayleigh波作用下,激振时间设为0.5s时,顶层水平位移约在8s后才趋于0,而该层的竖向震动约在3s后就已经结束。由此可见,不同地震动输入模式的影响主要反映在地震波的持时内,对结构自由振动期间的影响不大,原因是无论哪种激振方式,结构后期的振动都将以水平反应为主。最后,无论哪种地震动输入模式,顶层左、右角点的水平运动均一致,而其竖向运动则有明显差异,主要是由于楼板单元平面内的刚度远大于其平面外的刚度。

数值试验表明,本文所提出的地表激振Rayleigh波数值模拟技术,可用于各类复杂结构在不同地震动输入模式下的动力特性研究。

5 结论

本文总结了Rayleigh波场数值模拟的4种思路,结合Lamb问题的研究成果,采用地表激振的方法实现了Rayleigh波场的数值模拟,结合算例验证了该方法的可行性和结果的合理性。在此基础上,针对某多层建筑结构对比了Rayleigh波输入、剪切波输入以及剪切波和Rayleigh波联合输入等不同地震动输入模式对多层建筑结构动力反应的影响。

结果表明,在不同的地震动输入方式下,多层建筑结构的振动形态和破坏模式会产生明显的差异,因此在结构抗震分析时,有必要根据建筑场地所处位置选择更符合实际的地震动输入方式。基于地表激振的Rayleigh波数值模拟技术实现方便、计算效率高,同时还可充分利用现有商业软件丰富的本构模型和强大的处理功能,为今后研究土-结构动力相互作用问题、不同地震动输入模式、材料非线性或复杂地形条件对Rayleigh波场的影响等问题奠定了基础。

参考文献
巴振宁, 梁建文, 2014. 瑞雷波斜入射下层状半空间中沉积谷地周围的三维散射研究[J]. 地震学报, 36(4): 571-583. DOI:10.3969/j.issn.0253-3782.2014.04.004
崔杰, 张为, 张建国, 2008. Rayleigh波对浅地表地基震害的影响[J]. 华南地震, 28(2): 10-18. DOI:10.3969/j.issn.1001-8662.2008.02.003
高广运, 1998.非连续屏障地面隔振理论与应用.杭州: 浙江大学.
梁建文, 魏新磊, LeeV.W., 2009. 圆弧形沉积谷地对Rayleigh波三维散射解析解[J]. 天津大学学报, 42(1): 24-34.
刘广裕, 刘凯欣, 2007. 区域脉冲载荷下二维Lamb问题的精确求解[J]. 固体力学学报, 28(4): 341-346. DOI:10.3969/j.issn.0254-7805.2007.04.003
刘晶波, 李彬, 2006. Rayleigh波作用下地下结构的动力反应分析[J]. 工程力学, 23(10): 132-135, 131. DOI:10.3969/j.issn.1000-4750.2006.10.025
刘晶波, 谭辉, 宝鑫, 等, 2018. 土-结构动力相互作用分析中基于人工边界子结构的地震波动输入方法[J]. 力学学报, 50(1): 32-43.
刘凯欣, 刘广裕, 2004. 垂直点源问题的一个精确解[J]. 科学通报, 49(5): 419-423. DOI:10.3321/j.issn:0023-074X.2004.05.003
刘志祥, 张海清, 2017. PLAXIS 2D基础教程[M]. 北京: 机械工业出版社.
罗超, 2017. 河谷地形及土-结构相互作用对大跨度桥梁地震反应的影响[J]. 上海:同济大学, 78.
萨瓦林斯基, 1981.地震波.段星北, 译.北京: 科学出版社.
佘德平, 2004. 波场数值模拟技术[J]. 勘探地球物理进展, 27(1): 16-21.
施有志, 林树枝, 赵花丽, 2017a. 瑞利阻尼参数对瑞利波作用下场地动力响应的影响[J]. 人民长江, 48(3): 76-80.
施有志, 孙爱琴, 林树枝, 等, 2017b. Rayleigh波作用下地下综合管廊动力响应三维数值分析[J]. 世界地震工程, 33(4): 196-210.
苏传行, 2017.二维起伏地形瑞利面波数值模拟研究, 成都: 西南交通大学, 18-22.
王朝令, 刘争平, 2012. 黏弹性边界条件在ANSYS有限元波场模拟中的实现[J]. 大地测量与地球动力学, 32(2): 28-31.
王朝令, 刘争平, 黄云艳, 等, 2014. 隧道地震预报波场的有限元数值模拟[J]. 吉林大学学报(地球科学版), 44(4): 1369-1381.
王贻荪, 1979. 关于拉姆问题的精确解[J]. 湖南大学学报, 6(1): 61-76.
王贻荪, 1980. 半无限体表面在竖向集中谐和力作用下表面竖向位移的精确解[J]. 力学学报, 12(4): 386-391.
王贻荪, 1982. 地面波动分析若干问题[J]. 建筑结构学报, 3(2): 56-67.
吴世明, 1997. 土介质中的波[M]. 北京: 科学出版社.
杨桂通, 张善元, 1988. 弹性动力学[M]. 北京: 中国铁道出版社.
杨先健, 徐建, 张翠红, 2013. 土-基础的振动与隔振[M]. 北京: 中国建筑工业出版社.
于文福, 2017. 点源横向非均匀介质瑞利面波波场数值模拟研究[J]. 成都:西南交通大学, 66.
岳庆霞, 李杰, 2008. 近似Rayleigh地震波作用下地下综合管廊响应分析[J]. 防灾减灾工程学报, 28(4): 409-416.
Brinkgreve R. B. J., Kumarswamy S., Swolfs, W. M., 2016. PLAXIS 2D reference manual. Delft, The Netherlands: PLAXIS BV, 286-290.
Kontoe S., Zdravkovic L., Potts D. M., 2009. An assessment of the domain reduction method as an advanced boundary condition and some pitfalls in the use of conventional absorbing boundaries[J]. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 33(3): 309-330. DOI:10.1002/nag.v33:3
Woods R. D., 1968. Screening of surface waves in soils[J]. Journal of Soil Mechanics and Foundations Division ASCE, 94(SM4): 951-979.
Yu W. F., Liu Z. P., 2015. A numerical study of the Rayleigh wave particle motions excited by a point source and Poisson's ratio for lateral inhomogeneous half-spaces[J]. Journal of Applied Geophysics, 123: 242-255. DOI:10.1016/j.jappgeo.2015.09.009